Название кажется немного более общим, но я говорю о философах и математиках прошлого, которые обсуждали концепцию ничего или пустого множества . В настоящее время я снова изучаю теорию множеств и изо всех сил стараюсь понять концепции как можно полнее. Но я не понимаю, почему у нас возникла проблема с пониманием концепции пустого множества, и почему существует аксиома под названием «Аксиома существования», которая также называется «Аксиома пустого множества».
Во-первых, позвольте мне начать с представления моего понимания ничего ; Прежде чем определить это, я должен представить суб-вселенную (я еще не нашел строгого способа объяснить это, но только неформально).
Определение 1. Субвселенная является частью моего (или нашего) восприятия.
Причина, по которой я определяю это, состоит в том, чтобы избежать некоторых парадоксов (например, парадокса Рассела) из вселенной дискурса . В математике мы ограничиваем наше восприятие или анализ с помощью аксиом. Подвселенная имеет похожие контексты, но мы можем выбрать меньшую вселенную, какую захотим, если примем эту концепцию. (учтите, что это понятие может быть применимо только тогда, когда удовлетворяются правила вывода или правила мышления, т. е. оно не должно содержать никаких парадоксов.)
Теперь я ввожу определение ничего ;
Определение 2. Пусть S обозначает подвселенная. Мы говорим, что вещь является ничем в S тогда и только тогда, когда вещь не содержит ни одного элемента из своей подвселенной .
Например, предположим, что есть коробка, в которой находятся синий и зеленый шары. И тогда обозначим это как множество B, B={синий шар, зеленый шар}. И определим в этой ситуации подвселенную S, содержащую множество B. А теперь я уберу из ящика «шарики», которые можно обозначить {}. Тогда коробка ничто в S.
С этой точки зрения, если мы сможем расширить подвселенную настолько полно, насколько это возможно, то я думаю, что нет проблем с концепцией ничего . У меня, конечно, нет проблем с пониманием ничего , и поэтому я действительно не могу найти никакой необходимости в «Аксиоме существования». Подводя итог, мой вопрос прост;
Вопрос. Почему «Аксиома существования»?
Пустое множество как понятие в ZFC не вызывает проблем, поскольку оно удовлетворяет формальным свойствам.
Проблематично, когда мы спрашиваем, что это означает в онтологических терминах; или, как указывал Парменид, мы не можем постичь пустоту — пустоты нет; нас не смущает, что этому якобы непостижимому объекту присвоено имя — пустота. Имя пустоты, конечно, отличается от самой пустоты. Мы можем воспринимать имя, но не его референт — пустоту.
Мы должны были думать о пустом множестве как о множестве, относящемся к пустоте, тогда у него нет референта.
Следует различать эти два чувства; только первый смысл является хорошим описанием.
Некоторые подсказки.
См. в Вики Пустой набор :
Аксиоматическая теория множеств : в теории множеств Цермело существование пустого множества обеспечивается аксиомой пустого множества, а его уникальность следует из аксиомы экстенсиональности. Однако аксиому пустого множества можно показать избыточной одним из двух способов:
Уже есть аксиома, предполагающая существование хотя бы одного множества. При такой аксиоме вместе с аксиомой разделения легко доказывается существование пустого множества. При наличии urelements легко доказать, что хотя бы одно множество существует, т.е. множество всех urelements. Опять же, учитывая аксиому разделения, легко доказать пустое множество.
Философские вопросы : хотя пустое множество является стандартной и широко принятой математической концепцией, оно остается онтологическим курьезом, значение и полезность которого обсуждаются философами и логиками.
Пустое множество — это не то же самое, что ничто ; скорее, это множество, внутри которого ничего нет, а множество всегда есть что-то. Эту проблему можно решить, рассматривая набор как сумку — пустая сумка, несомненно, все еще существует. Дарлинг [DJDarling (2004), Универсальная книга математики , John Wiley and Sons, стр. 106] объясняет, что пустое множество — это не ничто, а скорее «множество всех треугольников с четырьмя сторонами, множество всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и набор всех начальных ходов в шахматах, в которых участвует король».
Вы можете увидеть в MathSE сообщение о пустом наборе:
и более ...
Набор — это не контейнер, а только его содержимое. Так что можно занять позицию: Без содержания нет множества. Для современных теоретиков множеств это не проблема, потому что они приучены привлекать явно контринтуитивные или контрфактические свойства (вроде аксиомы выбора в случаях, когда выбор, т. е. реальное отличие одного элемента от всех других, невозможен). Но даже основатели теории множеств считали пустое множество проблематичным или несуществующим. Далее я цитирую некоторые редко известные утверждения.
Бернар Больцано, изобретатель множества понятий (Менге) в математике, не назвал бы ничто пустым множеством. В немецком языке слово set имеет значение многих или большого количества. Часто в немецких текстах мы встречаем выражение große (большой или большой) Menge, реже выражение kleine (маленький) Menge. Поэтому Больцано приносит извинения за использование этого слова в случае наборов, состоящих только из двух элементов: «Позвольте мне также назвать набор, состоящий только из двух частей». [Дж. Берг (ред.): Б. Больцано, Einleitung zur Grössenlehre, Friedrich Frommann Verlag, Штутгарт (1975), с. 152]
Также Ричард Дедекинд отказался от пустого набора. Но он принял синглетон, т. е. непустое множество из менее чем двух элементов: «Для единообразия формулировок полезно допустить и частный случай, когда система S состоит из одного (одного и только одного) элемент а, т. е. что вещь а является элементом S, но всякая вещь, отличная от а, не является элементом S. Однако пустая система, не содержащая ни одного элемента, должна быть полностью исключена по определенным причинам, хотя она может быть удобно для других расследований, чтобы сфабриковать их». [Р. Дедекинд: «Был ли sind и был sollen die Zahlen?» Vieweg, Брауншвейг, 1887 г., 2-е изд. (1893) с. 2]
Бертран Рассел считал пустой класс несуществующим: «Существующий класс — это класс, имеющий хотя бы одного члена». [Бертран Рассел: «О некоторых трудностях теории трансфинитных чисел и порядковых типов», Proc. Лондонская математика. соц. (2) 4 (1906) с. 47]
Георг Кантор упомянул о пустом множестве с некоторыми оговорками и только один раз за всю свою работу: «Дальше полезно иметь символ, выражающий отсутствие точек. Для этого мы выбираем букву О. Р = О означает, что множество Р не не содержит ни одной точки. Так что, строго говоря, он не существует как таковой». [Кантор, с. 146]
И даже Эрнст Цермело, сделавший «Аксиому II, существует (несобственное) множество, «нуль-множество» 0, не содержащее ни одного элемента» [Э. Цермело: «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen 65 (1908), с. 263], сам же Цермело говорил в частной переписке: «Это не подлинный набор и введен мною лишь по формальным соображениям». [Э. Цермело, письмо А. Френкелю (1 марта 1921 г.)] «Я все больше сомневаюсь в оправданности «нулевого множества». Возможно, от него можно отказаться, ограничив соответствующим образом аксиому разделения. Действительно, оно служит только цели формального упрощения». [Э. Цермело, письмо А. Френкелю (9 мая 1921 г.)]
Тем более смело, что Цермело полностью построил свою систему счисления на пустом множестве: {} = 0, {{}} = 1, {{{}}} = 2 и так далее. По крайней мере, он знал, что есть только одно пустое множество. Но можно придумать много способов создать пустое множество, например, пустое множество чисел, пустое множество бананов, пустое множество единорогов, бесчисленное множество пустых множеств всех реальных одиночек и пустое множество всех этих пустых множеств. . Это самый пустой набор? В любом случае, «ноль вещей» означает «никаких вещей». Так что мы можем с уверенностью сказать (каламбур): Ничто не называется пустым множеством.
пользователь4894
Кевин Холмс
УиллО
секвитур
Мауро АЛЛЕГРАНСА