Каков исторический контекст и каковы философские последствия теории моделей?

Гуссерль дал проницательный философский анализ изменений, произошедших в математике в течение 19-го и начала 20-го века, изменения, некоторые аспекты которых он сам предвидел и продвигал как новый путь для математики (и науки) в Логических исследованиях (1900) . Вот предположение из «Формальной и трансцендентальной логики» (1929), §§29-30:

Делается это , конечно, той своеобразной логической универсализацией, называемой «формализацией», в результате которой все материально-определенное что-содержание понятий, — в случае геометрии, все конкретно-пространственное содержание, — превращается в неопределенное, модусы понятий. пустое "что-нибудь-что-нибудь"... Это не просто какая-то множественность (это было бы то же самое, что и любое множество чего-либо) и не форма, "любое бесконечное множество чего-либо". Наоборот, это множество особенность которого состоит лишь в том обстоятельстве, что он мыслится с пустой формальной всеобщностью, как «некая» провинция, определяемая полным набором евклидовых постулатных форм...Большой прогресс современной математики, особенно в том виде, в каком он был разработан Риманом и его преемниками, состоит ... в том, что она также стала рассматривать такие системные формы как математические объекты, свободно изменять их, математически универсализировать и конкретизировать универсалии. ... "[жирный мой]

От рассмотрения евклидовых фигур как идеализации материальных объектов, как это делали математики от Евклида до Канта, они перешли к рассмотрению их как пустых неопределенностей, подчиненных формальным аксиомам. И тогда стали возможны неевклидовы геометрии как модификации аксиом, где они были невозможны с точки зрения Канта. Кроме того, они смогли «детализировать универсальности», найти модели неевклидовых геометрий, таких как геометрия Клейна и Пуанкаре, заполнить пустые формальности «материей». То же самое произошло с комплексными числами и их геометрической интерпретацией. Стало ясно, что разные «материальные» теории (модели) могут быть «равноценными», тогда формальные теоремы применимы ко всем единообразно, но имеют разный «смысл».

Это позволило более эффективно развивать и применять математику, обогащая друг друга, казалось бы, разрозненными областями, а также стало инструментом исследования металогических свойств самих формальных теорий. Например, Гильберт продемонстрировал независимость своих геометрических аксиом, представив модели, в которых верны все, кроме одной; Гёдель показал непротиворечивость спорной аксиомы выбора, построив модель с ней в рамках теории множеств без нее; Сколем показал, что все теории первого порядка, включая реальный анализ и даже трансфинитную арифметику Кантора, имеют счетные модели и т. д. Результаты Скулема и Гёделя подчеркнули нейтральность формального значения и положили начало нынешнему господству логики первого порядка, см. Где Гёдель писал, что логика первого порядка является «истинной» логикой?Но они также выдвинули на первый план пределы ее выразительной силы, а позже подорвали логицистскую программу Фреге и Рассела и формалистскую программу Гильберта, см. соответственно. Что является философским основанием для различения логики и математики? и Было ли кантианское влияние на формалистическую программу Гильберта? Тарский показал, как модели позволяют разделить до сих пор смешанные (даже Гуссерлем и Карнапом) понятия семантического и синтаксического вывода, которые оказали глубокое влияние на аналитическую философию науки и языка. Он также дал теоретико-модельное доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. Рассел пошутил о важности зарождающейся теории моделей в « Мистицизме и логике» (1917), глава 4, следующим образом:

« Чистая математика целиком состоит из утверждений о том, что если такое-то и такое-то суждение истинно в отношении чего-либо, то такое-то и такое-то другое суждение истинно в отношении этого предмета. Существенно не обсуждать, действительно ли верно первое положение, и не упоминать, что такое нечто, относительно чего оно должно быть истинным. [...] Таким образом, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем мы говорим и истинно ли то, что мы говорим . "[жирный мой]

Достаточно заменить «математику» на «теоретическая наука», чтобы понять движущую силу некоторых основных тенденций в эпистемологии науки 20-го века, см., например, Что такое недоопределение теорий доказательствами и как это согласуется с научным реализмом?

PSТеперь поместим в этот контекст нестандартный анализ Робинсона. Его заявленная цель состояла в том, чтобы создать строгую структуру, которая лучше соответствовала бы интуитивным представлениям и манипуляциям с бесконечно малыми Ферма, Лейбница, Эйлера и т. Д. То есть лучше, чем анализ Вейерштрасса, который эффективно их устранил. Чтобы приспособиться к интуиции, эта структура не могла быть просто формальной теорией, она должна была сопровождаться моделью, интерпретирующей ее. Модель должна была содержать обычные действительные числа, причем таким образом, чтобы это было эквивалентно анализу Вейерштрасса, т. е. должно было быть их расширением. Но это должно было быть такое расширение, чтобы все новые числа подчинялись тем же отношениям «первого порядка», что и вещественные числа, так что все элементарные функции без видимого расширения на них и т. д. Это «общность алгебры» Лейбница, который стал «принципом передачи». Итак, Робинсону нужна была модель, эквивалентная анализу первого порядка, но расширяющая до бесконечно малых, если рассматривать ее «внешне». Это то, чего достигли гиперреалисты. Идеологически это было продолжением «разработки моделей» в соответствии со спецификациями, которые Гильберт и Гёдель ранее использовали для других целей.