Часто утверждается, что механизм Хиггса включает спонтанное нарушение калибровочной симметрии. Однако это совершенно неправильно . На самом деле калибровочные симметрии не могут быть спонтанно нарушены .

Стандартный аргумент в пользу этого состоит в том, что калибровочные симметрии не являются действительными симметриями, они просто отражение избыточности в нашем описании системы; два состояния, связанные калибровочным преобразованием, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Таким образом, калибровочная симметрия физически является «бесполезным преобразованием», и, следовательно, ее спонтанное нарушение не имеет смысла.

Однако этот аргумент выглядит как отговорка — я мог бы просто объявить любую симметрию «бездействующей трансформацией» по указу, если бы захотел. Более удовлетворительное объяснение таково: даже если мы интерпретируем калибровочные симметрии как настоящие симметрии, они никогда не могут быть спонтанно нарушены. Этот результат известен как теорема Элицура, и довольно легко понять, почему он должен быть верным. Давайте сосредоточимся на классических тепловых системах — квантовые системы при нулевой температуре отображаются на классические тепловые системы в одном более высоком пространственном измерении, поэтому аргумент должен быть сохранен.

Во-первых, вспомните махающий рукой аргумент в пользу того, почему спонтанное нарушение симметрии может иметь место, скажем, в двумерной модели Изинга при конечной температуре. Двумерная модель Изинга имеет два основных состояния, нарушающих симметрию: все$\uparrow$и все$\downarrow$. Но если я хочу попасть между ними с помощью локальных тепловых флуктуаций, мне нужно создать домен и увеличивать его до тех пор, пока он не охватит всю систему, что влечет за собой значительный расход энергии из-за энергетических затрат на доменную стенку. Таким образом, при низких температурах переходы между двумя основными состояниями экспоненциально подавляются в размере системы, и поэтому система застревает либо во всех$\uparrow$или все$\downarrow$, поэтому симметрия спонтанно нарушается. (Тот же аргумент показывает, почему в одномерной модели Изинга не может быть спонтанного нарушения симметрии при конечной температуре, потому что нет значительного энергетического штрафа, который можно было бы получить из всех$\uparrow$все$\downarrow$.)

С другой стороны, поскольку калибровочная симметрия является локальной симметрией, этот аргумент не работает. Любые два основных состояния, нарушающих симметрию, связаны последовательностью локальных калибровочных преобразований, которые (поскольку они коммутируют с гамильтонианом) имеют точно нулевой энергетический штраф. Таким образом, между различными основными состояниями нет энергетического барьера, и система будет исследовать все пространство основных состояний — так что никакого нарушения симметрии. Мы выразили все здесь в терминах классических тепловых систем, но для дальнейшего будет важно, что квантовая версия отсутствия нарушения симметрии состоит в том, что гамильтониан должен иметь уникальнуюосновное состояние (по крайней мере, с соответствующими граничными условиями), потому что вырожденные основные состояния всегда могут связываться друг с другом через квантовые флуктуации, создавая состояние суперпозиции с более низкой энергией.

Итак, теперь, когда мы установили, что механизм Хиггса не соответствует и не может соответствовать спонтанному нарушению симметрии, давайте посмотрим, что происходит на самом деле. Для простоты рассмотрим простейший случай, а именно (квантовый,$T = 0$)$\mathbb{Z}_2$Калибровочная теория решетки. Это включает в себя двумерные квантовые системы на всех вершинах и звеньях квадратной решетки. Те, что на вершинах, составляют «поле материи», а те, что на звеньях, составляют «калибровочное поле». Обозначим матрицы Паули на зацеплениях через$\sigma_{ab}^x$и т. д., а по вершинам$\tau_{a}^x$и т. д. Гамильтониан равен

Можно подробно изобразить фазовую диаграмму этого гамильтониана, но здесь мы просто сосредоточимся на фазе «Хиггса», которая возникает, когда$g$и$\lambda$малы, так что преобладают второе и четвертое слагаемые. Мы возьмем предел$g \to 0$, бездоказательно утверждая, что$g$малый, но не нулевой случай качественно аналогичен. В этом пределе основное состояние должно быть$+1$собственное состояние произведения$\sigma^z$вокруг каждой плакетки (состояние отсутствия потока). Если модель определена в пространстве без нестягиваемых петель, это означает, что мы можем написать для каждой конфигурации «без потоков»$\sigma^z_{ab} = \widetilde{\sigma}^z_a \widetilde{\sigma}^z_b$для некоторого выбора$\{ \widetilde{\sigma}^z_a \} = \pm 1$. Следовательно, все конфигурации «без потока» могут быть выполнены для удовлетворения$\sigma^z_{ab} = 1$соответствующим калибровочным преобразованием. Таким образом, при этом условии фиксации калибровки гамильтониан сводится к квантовой модели Изинга с поперечным полем на полях материи:

В: Но подождите, разве теорема Элицура не утверждает, что калибровочные симметрии не могут быть нарушены спонтанно?

A: Ну, на самом деле при фиксации калибровки мы использовали локальную часть калибровочной симметрии, и приведенный выше гамильтониан$H_{gf}$имеет только$\mathbb{Z}_2$ глобальная симметрия. Таким образом, спонтанное нарушение симметрии не нарушает теорему Элицура.

В: А как насчет исходного гамильтониана,$H$? У него была калибровочная симметрия, и он эквивалентен новому гамильтониану$H_{gf}$, который имеет спонтанное нарушение симметрии, поэтому исходный гамильтониан также должен иметь спонтанное нарушение симметрии?

О: Вы должны быть очень осторожны в отношении того, в каком смысле$H$и$H_{gf}$эквивалентны, потому что связывающее их преобразование «фиксация калибровки» не является унитарным (поскольку оно является отношением «многие к одному»). Тем не менее, если хорошенько подумать и использовать тот факт, что$H$инвариантен относительно калибровочной симметрии, нетрудно показать, что существует соответствие между собственными состояниями$H$и из$H_{gf}$. Однако, поскольку два вырожденных основных состояния$H_{gf}$связаны калибровочным преобразованием, они фактически соответствуют только одному уникальному основному состоянию$H$, в соответствии с теоремой Элицура. Это уникальное основное состояние$|\Psi\rangle_H$из$H$можно найти в терминах основных состояний$|\Psi\rangle_{H_{gf}}$из$H_{gf}$симметрируя их, чтобы сделать их калибровочно-инвариантными, т.е.

Подводя итог, можно сказать, что механизм Хиггса напоминает спонтанное нарушение симметрии при определенном выборе калибровки, но это иллюзия. Истинное основное состояние уникально и калибровочно-инвариантно.

Вкратце: спонтанное нарушение глобальной симметрии U(1), а не локальной «калибровочной симметрии», приводит к ненулевому вакуумному среднему значению поля Хиггса. Этот ненулевой VEV является неотъемлемой частью механизма Хиггса, который описывает, как поле Хиггса придает массу другим частицам, и его значение пропорционально генерируемой массе.

Для изучения механизма Хиггса мы можем использовать лагранжиан вида:

Где:

Этот лагранжиан калибровочно-инвариантен и имеет глобальные$U(1)$симметрия . Заметьте, я не говорю, что у них есть локальные$U(1)$калибровочная симметрия и локальная симметрия U(1), потому что:

• Калибровочная симметрия — это не настоящая симметрия , это скорее избыточность нашего описания природы. В этом смысле он никогда не может быть спонтанно нарушен .

• Местный$U(1)$симметрия является калибровочной , у нас нет этой симметрии в детерминированной теории.

Мы говорим, что лагранжиан калибровочно-инвариантен в том смысле, что:

Первым шагом к механизму Хиггса является спонтанное нарушение симметрии (SSB) глобальной$\text{U}(1)$симметрия. т.е. мы собираемся выбрать конкретное значение$\phi$в «минимальном круге» потенциальных$V(|\phi|)$. Сделав это, основное состояние потеряло глобальное$U(1)$симметрия, которой обладает лагранжиан. С потерей общности предположим, что он спонтанно распался на$\phi_0 = v$, реальная стоимость.

Следующим шагом мы расширяем наше поле вокруг$\phi_0=v$, мы предполагаем$\phi=(v+h)e^{i\xi}$. Подставляем его в лагранжиан, получаем:

Мы можем видеть, что этот лагранжиан по-прежнему калибровочно инвариантен , вспомните наше определение калибровочного преобразования выше, это означает:

Итак, при калибровочном преобразовании имеем:

Это означает, что лагранжиан по-прежнему калибровочно-инвариантен.

Теперь мы определяем$A'_{\mu}=A_{\mu}+\frac{1}{e}\partial_{\mu}\xi$. Мы подчеркиваем, что$A'_{\mu}$не следует называть калибровочным полем, потому что оно само калибровочно-инвариантно. В определенных физических контекстах это векторное поле может быть выражено через калибровочно-инвариантные физические величины. У нас также есть$F'_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}$, где:

Теперь лагранжиан становится:

Где мы опустили постоянные члены и члены взаимодействия, и мы получили массовый член для векторного поля$A'$и исходный безмассовый бозон Голдстоуна$\xi$только что исчез. Это высказывание о том, что «векторное поле съело голдстоуновские бозоны и потяжелело».

На данный момент мы увидели, что можем объяснить механизм Хиггса калибровочно-инвариантным способом, это не такое явление, как спонтанное локальное нарушение калибровочной симметрии в приведенном выше анализе, поскольку мы только что показали, что он калибровочно-инвариантен.

С другой стороны, мы также можем вручную зафиксировать калибровку в бывшем лагранжиане. Обычный выбор — позволить$\xi = 0$, так что у нас есть$A'=A$. Поскольку мы зафиксировали калибровку, говорить о калибровочном инварианте уже не имеет смысла. Это может быть причиной того, что люди говорят о «спонтанном локальном нарушении калибровочной симметрии». Однако процесс ручной фиксации манометра не следует рассматривать как спонтанный процесс.

Суть механизма Хиггса в том, что он позволяет нарушать (калибровочную) симметрию, чтобы увеличить массу калибровочных (векторных) бозонов, которые в ненарушенной симметрии обязательно безмассовые. Скаляр Хиггса и две степени свободы безмассового векторного бозона в совокупности образуют три степени свободы массивного векторного бозона. Теорема Голдстоуна ( https://en.wikipedia.org/wiki/Goldstone_boson ) утверждает, что если непрерывная симметрия системы спонтанно нарушается, то основное состояние системы является вырожденным. В калибровочной теории вырожденные основные состояния на самом деле достижимы друг из друга с помощью калибровочного преобразования, поэтому они являются просто калибровочными копиями друг друга и соответствуют одному физическому состоянию.