Калибровочная инвариантность — это просто избыточность. Почему массивное абелево калибровочное поле перенормируемо, а массивное неабелево калибровочное поле неперенормируемо?

Например, QFT Каку, стр. 214-215:

Теория массивных векторов с неабелевой группой неперенормируема.

Массивная векторная абелева теория перенормируема.

Я слышал о следующих аргументах, но не нахожу их удовлетворительными.

  1. Кто-то скажет, что пропагатор массивного векторного поля подобен

    грамм мю ν − к мю к ν / м 2 к 2 − м 2 .
    В большом к , он не будет распадаться, как 1 / к 2 , поэтому закон подсчета мощности нарушается. Я, конечно, допускаю, что закон подсчета мощности нарушается, но почему нарушение подсчета мощности связано с перенормируемостью? И мы уже знаем, что массивный U ( 1 ) Калибровочное поле по-прежнему перенормируемо, даже если оно нарушает подсчет мощности.

  2. Кто-то скажет массовый срок м 2 тр ⁡ А мю А мю нарушит калибровочную инвариантность. Но почему важна калибровочная инвариантность? Калибровочная инвариантность не является симметрией , и это не что иное, как избыточность для описания истинных физических степеней свободы. Любую теорию без калибровочной инвариантности можно с помощью трюка Штюкельберга переписать как калибровочную теорию, описывающую ту же физику.

    Например, массивное поле Максвелла

    (1) л знак равно − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν + 1 2 м 2 А мю А мю
    под замену,
    (2) А мю → А мю + ∂ мю ф
    становится
    (3) л знак равно − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν + 1 2 м 2 ( А мю + ∂ мю ф ) 2

    В настоящее время ( 3 ) имеет локальную калибровочную инвариантность,

    (4) дельта А мю знак равно ∂ мю Λ , дельта ф знак равно − Λ

    Очевидно, что ( 3 ) с локальной калибровочной инвариантностью ( 4 ) описывает ту же теорию ( 1 ) .

    Масштабирование ф → 1 м ф ,

    (5) л знак равно − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν + 1 2 м 2 А мю А мю + 1 2 ∂ мю ф ∂ мю ф + м А мю ∂ мю ф
    с локальной калибровочной инвариантностью,
    (6) дельта А мю знак равно ∂ мю Λ , дельта ф знак равно − м Λ

    Точно так же любая теория без калибровочной инвариантности, например массивное неабелево калибровочное поле, может быть переписана как калибровочная теория. Так почему же существует связь между калибровочной инвариантностью и перенормируемостью?

Таким образом, кажется, что приведенные выше два аргумента размахивания руками несостоятельны. В общем, как доказать, что массивная абелева калибровочная теория перенормируема, а массивная неабелева калибровочная теория неперенормируема?

Из калибровочной инвариантности не следует перенормируемость. Подумайте, например, о лагранжиане Ф мю ν Ф мю ν + [ Ф мю ν Ф мю ν ] 2 + … который совершенно калибровочно инвариантен и не перенормируем. Калибровочная инвариантность удобна только в качестве бухгалтерии, для выделения соответствующих степеней свободы (в том числе отсутствующих, таких как бозон Хиггса), и для эффективной записи ТЭС с разделением масс и обрезанием (возможно, бесконечным разделением масштабов в случае перенормируемой теории ).
@TwoBs Да. Ваш пример все еще можно объяснить подсчетом мощности. Так что обычный способ рассуждать о калибровочной инвариантности неверен.
Как говорит Джорджи здесь lib-extopc.kek.jp/preprints/PDF/1989/8912/8912349.pdf , калибровочная инвариантность «психологически полезна» для организации ТЭС в обратных степенях отсечки, а не в обратных степенях массы. Действительно, тогда можно увидеть, что поведение при больших энергиях становится таким же, как и предел нулевой массы (на уровне дерева), и, следовательно, калибровочная инвариантность — хороший прием для эффективного написания теории с высоким пределом отсечки.
Я не специалист по HEP, но если вы спрашиваете о связи перенормируемости и подсчета мощности, то это выглядит следующим образом. Поток ренормализационной группы должен быть замкнут в некотором конечномерном подпространстве определенного вида, в зависимости от математической структуры теории. Перед каждым членом степенного ряда обычно стоит константа физического значения. Каждая такая константа должна контролироваться уравнениями перенормировки. Если существует бесконечное число таких членов, теория все еще может быть перенормируемой, если члены зависят друг от друга или от конечного числа физических параметров.
продолжение Здесь, я полагаю, это неверно, каждое слагаемое в неабелевой калибровке существенно отличается от другого, поэтому потоки ренормализационной группы происходят в бесконечномерном пространстве, и есть области, которые всегда притягивают некоторые слагаемые к бесконечным значениям, что делает невозможным сокращение это из. Это то, чего я ожидал, но, конечно, то, что я писал, было только маханием рукой :)
@kakaz Я сильно сомневаюсь, что только калибровочная инвариантность может сделать теорию перенормируемой. Возьмите пример, который я предложил выше, Ф мю ν Ф мю ν + а ( Ф мю ν Ф мю ν ) 2 + … . Это калибровочно инвариантно и возникает, например, при интегрировании заряженного состояния массы м и заряжать е , чтобы а ∼ 1 / ( 16 π 2 ) е 4 / м 4 . В этой теории доминирует при низких энергиях Ф 4 срок, другие становятся важными в Е ∼ м 4 π / е . За е ≪ 1 Таким образом, теория полностью упускает из виду наличие новых состояний (интегрированных зарядов), которые дают о ( 1 ) коррекция амплитуд.
@kakaz Прод. здесь: другими словами, поток RG не может зафиксировать наличие новых состояний в слабосвязанном примере, который я описал выше.
Я понимаю, что вы сказали. Я только что подумал об этом в контексте неабелевой калибровки. Я полагаю, что ключевое значение здесь имеет пространство с конечными параметрами.
@kakaz Держите столько терминов, сколько хотите, они не имеют значения при низком энергопотреблении в приведенном мной примере, и все же теория ломается.
@TwoBs Почему это Ф 4 терм доминирует при низкой энергии? (Наивно я думал, что его вклад был ∼ Е 4 / м 4 , становится важным только в Е ∼ м , так Ф 2 будет доминировать)
@кокос Ф 2 член дает нулевой вклад в амплитуду рассеяния, являясь кинетическим членом. Первый ненулевой вклад исходит от Ф 4 который при низкой энергии контролирует нетривиальную динамику. В частности, амплитуда при низкой энергии выглядит как е 4 / ( 16 π 2 ) × ( Е / м ) 4 . Выше Ф н термины подавляются большим количеством полномочий ( е Е / м ) н − 4 .

Ответы (1)

Я, конечно, допускаю, что закон подсчета мощности нарушается, но почему нарушение подсчета мощности связано с перенормируемостью?

Согласно теореме Дайсона-Вайнберга о подсчете мощности (см. Ссылку 1, главу 12 и Ссылку 2, главу 8-1), диаграмма сходится тогда и только тогда, когда каждая из ее поддиаграмм имеет отрицательную поверхностную степень расходимости. ю . Последнее определяется как

ю знак равно − ( # факторов импульса в числителе ) − − ( # факторов импульса в знаменателе ) − + г ⋅ ( # независимых переменных импульса )
куда г число измерений пространства-времени. Следовательно, количество степеней импульса в числителе является важным компонентом анализа потенциально расходящихся диаграмм в определенной теории. Это число вносит свой вклад со знаком плюс в ю , поэтому чем выше первая, тем выше вторая, и больше диаграмм, которые внешне расходятся. На самом деле можно утверждать, что число расходящихся диаграмм конечно тогда и только тогда, когда все взаимодействия являются перенормируемыми со счетом мощности. Вот почему подсчет мощности является ключевой частью перенормируемости.

И мы уже знаем, что массивный U ( 1 ) Калибровочное поле по-прежнему перенормируемо, даже если оно нарушает подсчет мощности.

Это в какой-то степени счастливое совпадение. Напомним, что каждая вершина несет множитель тока ( Дж мю ∼ е ψ ¯ γ мю ψ ). В (массивной или безмассовой) КЭД ток сохраняется, поэтому множители к мю в числителях не вносят вклада в амплитуды рассеяния. Формально говоря, пропагатор ведет себя как О ( к − 2 ) для высокого импульса (вместо того, чтобы быть О ( 1 ) , как и следовало ожидать). Следовательно, даже если массивная КЭД нарушает перенормируемость подсчета мощности, теория на самом деле перенормируема.

В неабелевых калибровочных теориях ток не сохраняется (а вместо этого сохраняется ковариантно). Следовательно, факторы к мю вносят свой вклад, и применим общий анализ перенормируемости с подсчетом мощности: пропагатор О ( 1 ) для больших импульсов, и теория неперенормируема. Только в безмассовом случае продольные моды расцепляются, и поэтому пропагатор эффективно ведет себя как О ( к − 2 ) . Таким образом, перенормируемость восстанавливается (и только потому, что духи сокращают продольный вклад; без них дает вклад и продольная часть).

Так почему же существует связь между калибровочной инвариантностью и перенормируемостью?

Это вопрос семантики. Любое расхождение в любой локальной теории можно устранить введением контрчленов. Когда контрчлены имеют ту же форму, что и исходный лагранжиан, мы говорим, что теория перенормируема. Следовательно, если исходная теория калибровочно-инвариантна, то теория будет перенормируемой только в том случае, если контрчлены калибровочно-инвариантны по определению. Если вам нужен некалибровочно-инвариантный контрчлен, это означает, что вам нужен контрчлен, которого изначально не было в лагранжиане, и теория неперенормируема.

В случае Янга-Миллса можно доказать, что контрчлены действительно калибровочно-инвариантны и имеют тот же вид, что и члены, первоначально присутствовавшие в исходном лагранжиане (см. 3, глава 23). Следовательно, теория перенормируема. Доказательство довольно нетривиально и лучше всего понимается в контексте Баталина-Вилковиского (на основе ранней работы Зинна-Юстина). В случае наивной квантовой гравитации можно доказать, что контрчлены также калибровочно инвариантны, но они не имеют той же формы, что и исходный лагранжиан (см . этот пост PSE ). Следовательно, теория неперенормируема. Наконец, в калибровочной теории, где присутствуют аномалии, контрчлены не являются калибровочно-инвариантными, и теория неперенормируема.

Как вообще доказать, что массивное абелево калибровочное поле перенормируемо, а массивное неабелево калибровочное поле неперенормируемо?

Вы можете найти явное доказательство перенормируемости массивной КЭД в [2, глава 8-4]. Вы можете найти обсуждение неперенормируемости массивных неабелевых калибровочных теорий в Ref.2, глава 12-5-2 (основные моменты суммированы в этом посте PSE ).

Использованная литература.

  1. QFT Вайнберга, Vol.1.

  2. QFT Ициксона и Зубера.

  3. Глобальный подход ДеВитта к КТП, Том 1.

Исправить: количество расходящихся диаграмм не (обязательно) конечно. Скорее, количество структур внешней ноги конечно.
Калибровочная инвариантность — это просто избыточность. Почему массивное абелево калибровочное поле перенормируемо, а массивное неабелево калибровочное поле неперенормируемо?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v