Почему нормальный порядок нарушает личность Уорда?

Question

Почему нормальный порядок нарушает личность Уорда?

Физика
калибровочная теория
личность подопечного
диаграммы фейнмана
калибровочная инвариантность
квантовая теория поля

СлучайныйПреобразование Фурье

Хорошо известно, что нормальное упорядочение лагранжиана исключает все диаграммы Фейнмана с головастиками . $^{[1]}$ . В случае собственной энергии фотона в скалярной КЭД одна из диаграмм представляет собой, по сути, головастика:

Если вычислить $\Pi^{\mu\nu}$ пренебрегая второй диаграммой (головастик), результирующая собственная энергия не является поперечной, $p_\mu \Pi^{\mu\nu}\neq 0$ . Следовательно, здесь нормальный порядок нарушает тождество Уорда .

Поскольку личность Уорда является следствием текущей консервации $^{[2]}$ (а не калибровочной инвариантности, как иногда говорят), я пришел к выводу, что нормальный упорядоченный ток не сохраняется:

\partial \cdot {Дж}_{е м} "=" 0 но \partial \cdot : {Дж}_{е м} : \neq 0

$\partial\cdot j_\mathrm{em}=0\qquad\text{but}\qquad \partial\cdot\ \colon j_\mathrm{em}\colon\neq 0$

Но, насколько мне известно, нормальное упорядочивание тока эквивалентно вычитанию фоновой постоянной плотности заряда (известной также как море Дирака), и поэтому

: {Дж}_{е м}^{мю} "=" {Дж}_{е м}^{мю} - {дельта}_{0}^{мю} р

$:j^\mu_\mathrm{em}:=j_\mathrm{em}^\mu-\delta^\mu_0 \rho$ с (расходящейся) постоянной

ρ

$\rho$ . Следовательно, если

j_{e m}

$j_\mathrm{em}$ сохраняется в принципе

: j_{e m} :

$:j_\mathrm{em}:$ должно быть так же. Если нет какой-то аномалии (?).

Таким образом, мой вопрос: почему нормальный порядок нарушает тождество Уорда?

$[1]$ : см., например, Квантовая теория поля Ициксона и Зубера, стр. 271.

$[2]$ : там же, стр. 407. Более того, здесь доказательство тождества Уорда проводится с нормальным упорядоченным током (в спинорной КЭД)!

СлучайныйПреобразование Фурье

несколько связано: Идентичность подопечных и нормальное упорядочение из интеграла пути .

октонион

Не могли бы вы пояснить, почему головастик нужен для идентификации Уорда? Может быть, ссылка на скалярный расчет КЭД, где они нужны? Наивно мне кажется, что диаграмма головастика не имеет никакого отношения к

p

$p$ так как импульс петли не включает

p

$p$ .

СлучайныйПреобразование Фурье

@octonion Я сам вычислил интеграл цикла, но мне трудно найти опубликованную ссылку в Интернете. Все, что я смог найти на данный момент, это то, что вычисление представляет собой упражнение Пескинга и Шредера 9.1 (стр. 312). РЕДАКТИРОВАТЬ: интеграл петли также вычисляется в книге Средненицкого (на его веб-странице есть бесплатная копия), глава 65.

Дэвид З.

Кстати, примечание о быстром форматировании: используйте <sup>[1]</sup>, а не $^{[1]}$ для сносок (или я бы опустил квадратные скобки, но это вопрос выбора), потому что знаки сносок не являются математическими. Я не думаю, что это достаточно важно, чтобы исправить это самостоятельно, но любой, кто редактирует это дальше по другой причине, может это исправить.

проф. Леголасов

@octonion извините, я удалил свой ответ, потому что в нем я неправильно понял вопрос ОП. Кстати, OP неправильно использует термин « головастик », головастики — это диаграммы с одной внешней ногой.

проф. Леголасов

@AccidentalFourierTransform вторая диаграмма равна постоянному времени

g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}$ , она не зависит от внешнего импульса. То же самое можно сказать и о контртерминальной диаграмме, которую вы не удосужились включить. Таким образом, существование второй диаграммы ненаблюдаемо, потому что она влияет только на нефизическое значение контрчлена.

проф. Леголасов

@AccidentalFourierTransform, и, конечно же, вы должны ожидать разных контртерминов для разных теорий (с исходными и лагранжианами нормального порядка). Дело в том, что оба удовлетворяют тождеству Уорда при перенормировке.

пользователь2309840

Здесь есть обсуждение, которое кажется актуальным: physicsforums.com/threads/… . Суть, по-видимому, в том, что нормальный порядок — это схема регуляризации, нарушающая калибровочную инвариантность. Вам нужен график в виде чайки, который при обычном упорядочении можно было бы отбросить.

СлучайныйПреобразование Фурье

@DavidZ спасибо, я постараюсь не забыть использовать это в следующий раз (или использовать его в этом посте, если у меня есть какая-то другая причина для его редактирования).

СлучайныйПреобразование Фурье

@SolenodonParadoxus 1) мое использование головастика на самом деле не является неправильным: в общем, диаграмма головастика - это любая диаграмма, на которой какая-то внутренняя линия замыкается сама на себя (независимо от количества внешних ног). Диаграммы головастиков могут быть в любой теории с реальными бозонами. 2) Контрчлен имеет структуру

δ_{3} (η^{μ ν} p^{2} - p^{μ} p^{ν})

$\delta_3(\eta^{\mu\nu}p^2-p^\mu p^\nu)$ , и поэтому он не может поглотить что-то со структурой Лоренца

η^{μ ν}

$\eta^{\mu\nu}$ . Как оказалось, первая диаграмма имеет поперечную часть, причем идентичную диаграмме головастика, но с индексами

p^{μ} p^{ν}

$p^\mu p^\nu$ (поэтому мы должны включить оба для WI).

СлучайныйПреобразование Фурье

и 3) я рассчитал

Π^{μ ν}

$\Pi^{\mu\nu}$ я и я могу сказать вам, что если я не включу диаграмму головастика, результат не будет поперечным. Так что нет: кажется, что нормальная упорядоченная теория не удовлетворяет тождеству Уорда, по крайней мере, не наивно (должно быть что-то, что способствует

Π^{μ ν}

$\Pi^{\mu\nu}$ в нормально упорядоченной теории так, что результат удовлетворяет ВИ, но я не уверен, что).

Ответы (2)

Почему нормальный порядок нарушает личность Уорда?

несколько связано: Идентичность подопечных и нормальное упорядочение из интеграла пути .
Не могли бы вы пояснить, почему головастик нужен для идентификации Уорда? Может быть, ссылка на скалярный расчет КЭД, где они нужны? Наивно мне кажется, что диаграмма головастика не имеет никакого отношения к $p$ так как импульс петли не включает $p$ .
@octonion Я сам вычислил интеграл цикла, но мне трудно найти опубликованную ссылку в Интернете. Все, что я смог найти на данный момент, это то, что вычисление представляет собой упражнение Пескинга и Шредера 9.1 (стр. 312). РЕДАКТИРОВАТЬ: интеграл петли также вычисляется в книге Средненицкого (на его веб-странице есть бесплатная копия), глава 65.
Кстати, примечание о быстром форматировании: используйте <sup>[1]</sup>, а не $^{[1]}$ для сносок (или я бы опустил квадратные скобки, но это вопрос выбора), потому что знаки сносок не являются математическими. Я не думаю, что это достаточно важно, чтобы исправить это самостоятельно, но любой, кто редактирует это дальше по другой причине, может это исправить.
@octonion извините, я удалил свой ответ, потому что в нем я неправильно понял вопрос ОП. Кстати, OP неправильно использует термин « головастик », головастики — это диаграммы с одной внешней ногой.
@AccidentalFourierTransform вторая диаграмма равна постоянному времени $g_{\mu \nu}$ , она не зависит от внешнего импульса. То же самое можно сказать и о контртерминальной диаграмме, которую вы не удосужились включить. Таким образом, существование второй диаграммы ненаблюдаемо, потому что она влияет только на нефизическое значение контрчлена.
@AccidentalFourierTransform, и, конечно же, вы должны ожидать разных контртерминов для разных теорий (с исходными и лагранжианами нормального порядка). Дело в том, что оба удовлетворяют тождеству Уорда при перенормировке.
Здесь есть обсуждение, которое кажется актуальным: physicsforums.com/threads/… . Суть, по-видимому, в том, что нормальный порядок — это схема регуляризации, нарушающая калибровочную инвариантность. Вам нужен график в виде чайки, который при обычном упорядочении можно было бы отбросить.
@DavidZ спасибо, я постараюсь не забыть использовать это в следующий раз (или использовать его в этом посте, если у меня есть какая-то другая причина для его редактирования).
@SolenodonParadoxus 1) мое использование головастика на самом деле не является неправильным: в общем, диаграмма головастика - это любая диаграмма, на которой какая-то внутренняя линия замыкается сама на себя (независимо от количества внешних ног). Диаграммы головастиков могут быть в любой теории с реальными бозонами. 2) Контрчлен имеет структуру $\delta_3(\eta^{\mu\nu}p^2-p^\mu p^\nu)$ , и поэтому он не может поглотить что-то со структурой Лоренца $\eta^{\mu\nu}$ . Как оказалось, первая диаграмма имеет поперечную часть, причем идентичную диаграмме головастика, но с индексами $p^\mu p^\nu$ (поэтому мы должны включить оба для WI).
и 3) я рассчитал $\Pi^{\mu\nu}$ я и я могу сказать вам, что если я не включу диаграмму головастика, результат не будет поперечным. Так что нет: кажется, что нормальная упорядоченная теория не удовлетворяет тождеству Уорда, по крайней мере, не наивно (должно быть что-то, что способствует $\Pi^{\mu\nu}$ в нормально упорядоченной теории так, что результат удовлетворяет ВИ, но я не уверен, что).

октонион · Answer 1

Я думал об этом, и у меня есть представление о том, что происходит, но это не будет полным ответом, который выводит, что нормально упорядоченный ток ведет к тождеству Уорда, хотя я верю, что это можно сделать.

Что такое нормальный заказ? Причина введения нормального порядка заключается в том, что операторы, включающие произведения полей в одной и той же точке пространства-времени, плохо определены. Таким образом, один из способов упорядочить это — умножить поля в разных точках и вычесть пропагатор. $\Delta$ что их связывает.

: ф (Икс + ϵ)^{†} ф (Икс) : "=" ф (Икс + ϵ)^{†} ф (Икс) - Δ (ϵ)

$:\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x):\,\,=\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)-\Delta(\epsilon)$ Таким образом, сингулярное поведение отменяется на правой стороне, и мы можем определить

: ϕ^{†} ϕ (x) :

$:\phi^\dagger\phi(x):$ например.

Проблема в том, что в калибровочной теории $\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)$ больше не является калибровочно-инвариантным, поскольку две разные точки могут иметь разные фазовые повороты. Итак, нам нужно использовать калибровочно-инвариантную величину

ф (Икс + ϵ)^{†} ф (Икс) опыт (я \int_{Икс}^{Икс + ϵ} А ({Икс}^{'}) г {Икс}^{'}) .

$\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)\exp\left(i\int^{x+\epsilon}_x A(x')dx'\right).$ я еще позвоню

: ϕ^{†} ϕ :

$:\phi^\dagger\phi:$ указанная выше некалибровочно-инвариантная величина. Как

ϵ \to 0

$\epsilon\rightarrow 0$ , калибровочно-инвариантный продукт переходит в

(: ф^{†} ф : + Δ (ϵ)) (1 + я ϵ А)

$\left(:\phi^\dagger\phi:+\Delta(\epsilon)\right) \left(1+i\epsilon A\right)$ Перекрестный термин

Δ (ϵ) ϵ A

$\Delta(\epsilon)\epsilon A$ не обязательно стремится к нулю, так как

Δ

$\Delta$ уходит в бесконечность. Просто игнорируя любые диаграммы со скалярным пропагатором в той же точке, которую вы используете

: ϕ^{†} ϕ :

$:\phi^\dagger\phi:$ , но это не является калибровочно-инвариантным, если вы не включите диаграмму из

Δ ϵ A

$\Delta\epsilon A$ .

Да $\phi^\dagger\phi$ не является текущим в вашем примере, и этот аргумент является только схематичным, но я думаю, что это суть вопроса.

Ах, да, похоже, это правильный путь, и это намекает на то, что где-то есть аномалия. Например, Тиччиати использует вашу «инвариантную величину манометра» для получения аномалии осевого тока (см. его книгу, главы 18.10 и 18.12). Мне нужно подумать об этом, но это выглядит многообещающе :-)

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 2

Отличный вопрос, ОП! Как оказалось, проблема на самом деле нетривиальна: наивное нормальное упорядочение нарушает тождество Уорда, поскольку пропускает некоторые члены гамильтониана. Можно использовать нормальный упорядоченный гамильтониан, но при этом появляются лишние фейнмановские вершины, и конечный результат такой же, как и обычный. Идентичность Уорда сохраняется, но рецепт упорядочения более сложен, чем может показаться на первый взгляд. Нормальный порядок допускается, но он не так тривиален, как в спинорной КЭД.

Вы можете найти подробное обсуждение в The Role of Operator Ordering in Quantum Field Theory Suzuki T., Hirshfeld AC и Leschke, H. Гамильтониан, упорядоченный по Вейлю, принимается равным

\begin{aligned} ЧАС & "=" я е А_{0} ({Φ_{1} Φ_{2}}_{0} - {Φ_{1}^{†} Φ_{2}^{†}}_{0}) + \\ + я А \cdot (Φ_{1}^{†} \nabla Φ_{1} - Φ_{1} \nabla Φ_{1}^{†}) + \\ + е^{2} А^{2} Φ_{1}^{†} Φ_{1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal H&=ieA_0(\{\Phi_1\Phi_2\}_0-\{\Phi_1^\dagger\Phi_2^\dagger\}_0)+\\ &+i\boldsymbol A\cdot(\Phi_1^\dagger\nabla\Phi_1-\Phi_1\nabla\Phi_1^\dagger)+\\ &+e^2\boldsymbol A^2\Phi_1^\dagger\Phi_1 \end{aligned} \end{equation}$ и это приводит к диаграммам

Как и следовало ожидать, эти диаграммы порождают обычный тензор поперечной поляризации, так что Уорд в безопасности. Авторы отмечают:

В общей схеме упорядочения вклады диаграмм 1 (б) и (в) равны
$\begin{aligned} Π^{(2)} & "=" - я е^{2} (1 - λ_{11}) я_{11} (г_{мю ν} - г_{мю 0} г_{ν 0}) \\ Π^{(3)} & "=" - я е^{2} λ_{11} я_{11} (г_{мю ν} - г_{мю 0} г_{ν 0}) \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned} \Pi^{(2)}&=-ie^2(1-\lambda_{11})I_{11}(g_{\mu\nu}-g_{\mu0}g_{\nu0})\\ \Pi^{(3)}&=-ie^2\lambda_{11}I_{11}(g_{\mu\nu}-g_{\mu0}g_{\nu0}) \end{aligned} \end{equation}$ тогда как $\Pi^{(1)}$ не зависит от выбранной схемы заказа. Сумма этих двух членов точно такая же, как и раньше, а полная собственная масса фотона не зависит от схемы упорядочения.

Отличается только интерпретация: в схеме упорядочения Вейля вклад возникает от замкнутых диаграмм 1 (б), тогда как в схеме нормального упорядочения, например, такими диаграммами замкнутого цикла всегда пренебрегают, но тогда такой же вклад дает член упорядочения в гамильтониане взаимодействия (рис. 1, в).

Таким образом, мы видим, что, хотя вклады отдельных диаграмм обычно зависят от выбранной схемы упорядочения, общий вклад в физически релевантную величину не зависит от схемы упорядочения. Мы подчеркиваем важную роль упорядочивающего члена для поддержания калибровочной инвариантности. Иногда начинают с нормально упорядоченного гамильтониана взаимодействия, априори отбрасывая упорядочивающий член (см., например, [11]). Тогда собственная масса не оказалась бы калибровочно-инвариантной, и пришлось бы вводить контрчлен калибровочно-инвариантного вида. Аналогичные выводы можно сделать и в отношении других отклонений.

Почему нормальный порядок нарушает личность Уорда?

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

октонион

СлучайныйПреобразование Фурье

Дэвид З.

проф. Леголасов

проф. Леголасов

проф. Леголасов

пользователь2309840

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (2)

октонион

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Калибровочная инвариантность или глобальная инвариантность, что делает теорию перенормируемой?

Почему тождество Уорда справедливо для калибровочных теорий?

Личность Уорда и поля Прока

Инвариантность меры функциональной интеграции

Как четверные глюонные вершины связаны с SU(2)SU(2)SU(2) и SU(3)SU(3)SU(3)?

Почему калибровочные теории имеют такой успех?

Экспериментальное различение топологически неэквивалентных физических состояний в калибровочной теории

Логика большого расширения NNN

Инвариантность меры Фаддеева-Попова по Хаару для U(1)U(1)U(1)

Почему экспериментаторы в области высоких энергий никогда не включают призраки Фаддеева-Попова в свои диаграммы Фейнмана?