Калибровочная симметрия для p-форм

Мы можем легко обобщить лагранжиан Максвелла$^\star$для любого$p$-форма соединения. Если мы обозначим,$A^{(p)}$а$p$-форма калибровочного соединения, тогда напряженность поля определяется просто,$F=\mathrm{d}A^{(p)}$. Чтобы быть калибровочно инвариантным, лагранжиан должен быть инвариантным относительно$^\dagger$

где$\alpha$является точным$(p-1)$-форма. Очевидно, если действие зависит только от$F$, то он калибровочно инвариантен, так как примененная дважды внешняя производная нильпотентна, т. е.$\mathrm{d}^2=0$. Пример для случая$p=2$:

а лагранжиан определяется выражением$\mathcal{L}\sim H^2$, для потенциальных$B$. В общем случае напряженность поля определяется выражением

$\star$Определение напряженности поля как простой внешней производной калибровочного поля выполняется только в том случае, если связность является формой со значениями алгебры Ли для абелевой группы.$G$.

$\dagger$На самом деле член, добавленный к потенциалу, не обязательно должен быть точным. Единственное требование состоит в том, чтобы внешняя производная обращалась в нуль, т. е. была замкнута. Точность означает, что она закрыта. Для случая$p=1$, мы часто формулируем этот термин как «полная производная».

Вы можете включать p-формы в теорию таким образом, что это не подразумевает калибровочную инвариантность, точно так же, как вы можете записать теорию массивного вектора, включив$m^2 A^{\mu} A_{\mu}$член в лагранжиане. Но во многих теориях с p-формами существует калибровочная инвариантность, подобная той, которую вы записали. В этом случае лагранжиан будет строиться из напряженности поля$F=dA$(что само по себе является явно калибровочной инвариантностью для абелевых полей) и, возможно, другие члены, зависящие от$p$, размерность пространства-времени и т. д.