Почему калибровочные теории имеют такой успех?

Я думаю, что ваше замечание 1 верно, и поэтому я не согласен с замечанием 2.

Я не думаю, что вы должны считать калибровочный формализм фундаментальным или даже неизбежным. Калибровочные степени свободы возникают, когда вы добавляете поддельные степени свободы, чтобы сделать формулировку теории более простой или более явно симметричной. Например, мы хотим, чтобы квантовая теория была лоренц-инвариантной и унитарной. Теория представления группы Пуанкаре здесь говорит вам, что безмассовая частица со спиральностью-1 имеет 2 степени свободы на оболочке. Но мы также хотим, чтобы теория была локальной, и поэтому мы используем лагранжево описание (вне оболочки), чтобы гарантировать это.

Чтобы записать явно лоренц-инвариантный локальный лагранжиан, мы должны вложить две степени свободы в большее поле и использовать калибровочно-инвариантный лагранжиан. Это выбор. Мы делаем это, потому что хотим, чтобы теория выглядела явно локальной и лоренц-инвариантной на каждом этапе вычислений. Калибровочная избыточность возникает из-за конфликта между унитарностью (2 степени свободы) и локальностью/лоренц-инвариантностью (необходимо использовать калибровочное поле). Если бы мы не хотели лагранжевого описания (скажем, у нас был способ вычислений, используя только данные на оболочке, такие как импульс и спиральность) или нам было бы все равно, выглядят ли промежуточные шаги лоренц-инвариантными (т. е. просто зафиксировали калибровку и вычислили) тогда мы могли бы избежать избыточности датчика.

На самом деле, насколько мне известно, люди, работающие над N=4 SYM-амплитудами, способны это делать. Они достигают большой простоты в ответах, потому что работают только с данными на оболочке, не беспокоясь о локальности и, таким образом, избегая избыточности датчиков. На мой взгляд, самый простой способ увидеть такое упрощение — это вычислить некоторую амплитуду рассеяния глюонов, используя правила Фейнмана, полученные из лагранжиана (даже для небольшого числа глюонов количество диаграмм становится неуправляемым, потому что многие из них связаны друг с другом через калибровочная избыточность), а затем повторить вычисление, используя формализм спинорной спиральности, который позволяет выполнять вычисления на странице и не использует калибровочные поля и т. д.

Так что в этом смысле калибровочные теории успешны, потому что силы в природе опосредованы безмассовыми частицами со спиральностью 1 (или 2 для гравитации), а физикам нравятся/нужны лагранжевы описания, потому что они хотят проявить определенные свойства, такие как локальность и лоренц-инвариантность. Калибровочная инвариантность не является фундаментальной частью природы, это пережиток содержания частиц во вселенной и особого способа, который мы выбираем для описания физики.

Как человек, не знакомый с физикой частиц и BSM, я чувствую себя немного странно, предлагая это тебе, Тримок (с учетом того, что я узнал о твоем опыте и способностях из твоих ответов и вопросов), но вот как мне нравится это видеть.

В течение многих лет мне хотелось рвать на себе волосы всякий раз, когда я видел лагранжиан, пытаясь получить от непрофессионала представление о том, что делают другие физики, особенно с физикой BSM. Не то чтобы у меня были какие-то проблемы с математической правильностью того, что было представлено — просто его физическое обоснование казалось совершенно загадочным. Как говорит Роджер Пенроуз где-то в «Дороге к реальности», лагранжевых формулировок теории «пруд пруди» (не совсем те слова, которые он использовал: вы можете придумать лагранжево объяснение любой физической теории. Как, черт возьми, можно мечтать? Как правило, трудно, если вообще возможно, взглянуть на термины в лагранжиане и сказать, что «это означает то-то и то-то», как вы можете во многих (не во всех, заметьте) физических теориях. Пенроуз загадочно заметил, что стандартная модель выглядела бы полностью «надуманной», если бы не ее экспериментальное обоснование. Я прочитал «надуманный» как означающий «совсем физически не очевидный», но также и «если бы не…» подразумевал, что экспериментальные результаты показали, что именно так и должно быть. Я задавался вопросом, какие экспериментальные результаты могли бы мотивировать нечто столь абстрактное, как некоторые из лагранжианов, с которыми я столкнулся, столь же убедительно, как предполагал Пенроуз.

Затем меня вдруг осенило следующее (думаю, к этому же и относится ответ Фредерика Брюннера):

Лагранжева динамика + Теорема Нётер = Инструмент, с помощью которого экспериментаторы могут кодировать свои наблюдения в теорию-кандидата, с которой теоретики могут работать.

Теорема Нётер, конечно, касается лагранжианов, их непрерывных симметрий и соответствующих сохраняющихся величин, ровно по одной для каждой непрерывной симметрии, сохранение которых может быть описано соответствующим уравнением непрерывности. Итак, если мы экспериментально обнаружим, что существуют некоторые измеренные, действительные величины, которые сохраняются на протяжении всего эксперимента, скажем, «спутанность», «блабличность» и «неуравновешенность», тогда возможной теорией является теория, полученная из лагранжиана, который явно построены с одной непрерывной симметрией для каждого из них. Более того, нам может повезти, как в примере Фредерика Брюннера, если мы также будем иметь три наблюдаемые непрерывные симметрии. Теперь это действительно сильная экспериментальная мотивация:симметрии и попытаться сопоставить каждое уравнение неразрывности, подразумеваемое теоремой Нётер, с «запутанностью», «кровоподобием» и «неуступчивостью» в соответствии с тем, что еще мы можем экспериментально узнать об этих трех.

Как только я понял это, другая тайна растаяла. Зачем нам физические теории с калибровочной симметрией, т. е. избыточностью в них? Наверняка физика стремится сделать вещи настолько простыми, насколько это возможно, особенно если калибровочная симметрия не является экспериментально изначально очевидной симметрией системы? Конечно, в лагранжевой формулировке симметрия необходима для обеспечения сохранения, поэтому мы берем на себя «избыточность» — калибровочную симметрию — чтобы математически выразить это сохранение в калибровочной теории.

Поскольку я не являюсь регулярным пользователем этих идей, для полного ответа на ваш вопрос обязательно будет больше, чем могут предложить мои скудные знания, но приведенные выше идеи должны быть хотя бы частичным ответом.

Сноска: я намеренно использовал слово «непрерывная», а не дифференцируемая симметрия: вам не нужно предполагать последнее. «Непрерывная» симметрия подразумевает группу симметрий Ли, а решение Монтгомери, Глисона и Циппина пятой проблемы Гильберта показывает, что$C^0$предположения в теории Ли подразумевают аналитическое, т.е. $C^\omega$многообразие. Я должен был как-то вникнуть в это, как энтузиаст теории лжи.

Точка зрения, согласно которой калибровочные симметрии могут быть просто процитированы, слишком упрощена. Конечно, верно, что в теории рассеяния, где рассматривается только что-то глобальное, попадающее в черный ящик и возникающее в конце, имеют значение только классы калибровочной эквивалентности входных и выходных состояний. Но то, что происходит внутри этого черного ящика, — это локальная теория поля, и нет никакого способа сохранить локальность при локальном факторизации калибровочных преобразований. Это следует из простого рассуждения, изложение см. в этих примечаниях .

В частности, как обсуждалось там, если настаивать на том, что калибровочные преобразования свидетельствуют только об избыточности и локально, то все инстантонные сектора исчезают, а значит, и собственно вакуум КХД исчезает.

Есть и более резкие примеры. Например, модель Весса-Зумино-Виттена возникает на границе теории Черна-Саймонса, так что ее полевые конфигурации (отображаемые в группу Ли$G$) отождествляются с граничными калибровочными преобразованиями$G$Калибровочная теория Черна-Саймонса. Это яркий пример того, что калибровочные преобразования не являются избыточными.

В общем, он служит тому, чтобы не быть слишком наивным и применять минимум математической изощренности при рассмотрении калибровочной симметрии в фундаментальной физике. Для дальнейшего чтения см. также изложение Примеры доквантовых теорий поля I: Калибровочные поля .

Одна из причин успеха калибровочных теорий может заключаться в том, что калибровочные преобразования — это не какая-то экзотическая математическая диковинка, затрагивающая какую-то побочную ветвь физической концепции, а лежащие в основе самой теории: они напрямую влияют на динамику теории, определяя форму лагранжиана, из которого можно вывести многие величины, важные для сравнения с экспериментом (уравнения движения, амплитуды рассеяния). Феноменология и предполагаемые фундаментальные принципы оказывают драматическое влияние на теорию. Принцип калибровочных симметрий безупречно сливается как со старыми и устоявшимися представлениями классической механики, так и с относительно новой и современной теорией квантовой механики.

Возьмем, к примеру, КХД — предположение и наблюдение, что природа не различает состояния разного цветового разложения, прямо приводит к введению$SU(3)$цветовая симметрия со всеми ее прекрасными и загадочными следствиями.