Почему тождество Уорда справедливо для калибровочных теорий?

Тождества Уорда — это утверждение о том, что если мы запишем амплитуду рассеяния внешнего фотона с поляризацией$\zeta$и импульс$k$как$M = \zeta^\mu M_\mu$, то имеем$k^\mu M_\mu = 0$. Это уравнение важно, потому что оно показывает, что ложные продольные поляризации, пропорциональные импульсу фотона, не связаны со всеми физическими процессами, поскольку их амплитуды рассеяния обычно равны нулю.

Тождество Уорда выполняется для любой калибровочной теории Янга-Миллса, в которой калибровочное поле связано с сохраняющимся током, а также для теорий массивного векторного поля , которые не имеют калибровочных симметрий, при условии, что они по-прежнему связаны с током в виде лагранжево взаимодействие$A^\mu j_\mu$где$j_\mu$является некоторой функцией полей материи, с которыми связано калибровочное поле. Калибровочная инвариантность лагранжиана и эта форма связанного уравнения ведут непосредственно к тождествам Уорда через общее тождество Уорда-Такахаши:

Для$j^\mu$сохраняющийся ток глобальной непрерывной симметрии (которая является частью каждой калибровочной симметрии), мы имеем, что

$$\partial_\mu \langle T j^\mu(x) \phi(x_1)\dots \phi(x_n)\rangle = - \mathrm{i}\sum_{j=1}^n \langle \phi(x_1)\dots\phi(x_{j-1}) \delta\phi(x_j)\phi(x_{j+1})\dots \phi(x_n)\tag{1}$$ действует для всех полей $\phi$, где $\delta \phi$является вариацией $\phi$под симметрией. Амплитуда рассеяния с участием внешнего фотона схематично $$M(k) = \zeta^\mu \mathrm{i} \int \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \partial_x^2 \langle T A_\mu(x)\cdot\text{other stuff}\rangle$$ и с тех пор $\frac{\delta S}{\delta A^\mu} = \partial_x^2 A_\mu(x) - j^\mu$выполняется классически, получаем $$\partial_x^2 \langle TA_\mu(x) \dots\rangle = \langle T j_\mu(x) \dots \rangle + \text{contact terms}$$ при использовании уравнения Дайсона-Швингера . Условия контакта $n-1$-точечные функции и не вносят вклад в связанную $n$-point, которую мы пытаемся вычислить, поэтому мы можем пренебречь ими.

Наконец, для$\zeta^\mu = k^\mu$, мы можем использовать соотношение Фурье между$k$и$\partial$тянуть$\zeta^\mu$в интеграл, что дает нам$\partial_\mu\langle j^\mu\dots\rangle$внутри интеграла. Согласно Уорду-Такахаши (уравнение (1)), это также состоит только из контактных членов, которые не вносят вклад в амплитуду рассеяния, и, следовательно,$\zeta^\mu M_\mu = 0$.

Единственные предположения, которые использовались в этом аргументе, заключались в том, что мы имеем глобальную непрерывную симметрию с сохраняющимся током.$j_\mu$, и что уравнение движения для калибровочного поля имеет вид$\partial_x^2 A = j_\mu$. Это для абелева случая.

Для неабелева случая Янга-Миллса соответствующие тождества усложняются, хотя по-прежнему следуют из общей логики тождеств Уорда-Такахаши. Неабелевы версии называются тождествами Славнова-Тейлора и также включают призрачные поля Фаддеева-Попова, но фактически также означают, что продольная поляризация отделяется от всех физических процессов.

Наконец, мы можем обратиться к «равенству»

$$\lvert e,p\rangle = \lvert e',p'\rangle + Q\lvert \psi\rangle.$$ Это следует рассматривать как равенство, которое мы налагаем на гильбертово пространство состояний, чтобы избавиться от состояний с отрицательной/нулевой нормой. Априори, $\lvert e,p\rangle$и $\lvert e',p'\rangle$являются разными состояниями, но мы навязываем это уравнение обычным способом фактор-пространства физическому пространству состояний. Два элемента, отличающиеся изображением $Q$объявляются равными, точнее говоря, физическое гильбертово пространство есть когомологии $Q$, то есть, $\ker(Q)/\mathrm{im}(Q)$. Тождество Уорда гарантирует, что этот фактор физически безвреден — только потому, что продольные поляризации (соответствующие $\mathrm{im}(Q)$в неабелевой формулировке БРСТ) мы можем сказать, что два состояния, отличающиеся только такой поляризацией, равны, поскольку это гарантирует, что амплитуды рассеяния для всех состояний, которые мы только что объявили равными, на самом деле равны. Без тождества Уорда частное по состояниям с нулевой нормой физически противоречиво.