Имеет ли наблюдатель на расширяющейся трехсфере гиперболическое чувство времени?

Трехмерную сферу радиуса a можно рассматривать как вложенную в четырехмерное евклидово пространство. В этом представлении есть условие для любой системы координат с началом в центре 3-сферы:

а 2 "=" г мю ν Икс мю Икс ν

Заметим, что метрика здесь риманова (не псевдориманова). Например, в стандартных декартовых координатах это выглядит так:

а 2 "=" Икс 2 + у 2 + г 2 + ж 2

Это просто условие, что координаты лежат где-то на 3-сфере. Для 3-сферы изменяющегося радиуса a можно записать бесконечно малую величину как:

д а 2 "=" г мю ν д Икс мю д Икс ν

Где ясно, что а будет функцией некоторого внешнего параметра (времени или конформного времени). Давайте теперь позволим телу двигаться по трехсфере, пока оно расширяется. Для выбора координат с тремя переменными (\ chi ) на трех сферах есть бесконечно малое смещение, определяемое как:

д л 2 "=" г мю ν д х мю д т д т д х ν д т д т

Тогда наше условие полного смещения принимает вид:

д л ( т , х ˙ ) 2 "=" д а ( т ) 2 + г мю ν д х ( т ) мю д х ( т ) ν

Но л не является инвариантным; разные наблюдатели спорили бы о ценности л . а однако является инвариантным, будучи согласованным независимо от положения на трех сферах. Таким образом несколько более естественно переписать:

− д а ( т ) 2 "=" − д л 2 + г мю ν д х ( т ) мю д х ( т ) ν

Здесь имеет смысл обозначить л "=" х 0 и псевдориманова метрика такая, что:

− д а ( т ) 2 "=" г мю ν д х мю д х ν

Обратите внимание, что этот аргумент также применим для двух произвольных точек на С 3 при двух разных значениях а . Учитывая разные геометрические роли a и L (по сравнению с размерами на С 3 ), можно выбрать разные единицы так, что а "=" с т и х 0 "=" с т где с — константа. Обратите внимание, что тогда один из них имеет естественное состояние:

− с 2 "=" г мю ν д х мю д т д х ν д т
Локально, для больших a, это очень похоже на условия лоренц-инвариантности в специальной теории относительности. во всяком случае, я думал, что это было интересно.

Ответы (1)

Конформное преобразование метрики г мю ν   →   Ом 2 г мю ν что для линейного элемента

д с 2   "="   г мю ν д Икс мю д Икс ν   →   Ом 2 г мю ν д Икс мю д Икс ν
что для диагональной метрики равно
д с ′ 2   "="   Ом 2 ( д х 2   −   д Σ ( 3 ) ) ,
где х конформное время и Σ ( 3 ) метрика пространственной поверхности. Для ровной поверхности д Σ ( 3 )   "="   д Икс 2   +   д у 2   +   д г 2 . В общем
д Σ ( 3 )   "="   ( д р 2 1 − к р 2 + р 2 д θ 2 + р 2 грех 2 ⁡ θ д ф 2 ) .
который отображается конформным преобразованием д Σ ( 3 )   →   Ом 2 д Σ ( 3 ) .

Теперь мы позволим

д х   "="   д х д т д т   "="   Ом − 1 д т ,
что дает метрику пространства-времени
д с 2   "="   д т 2   −   Ом 2 ( д р 2 1 − к р 2 + р 2 д θ 2 + р 2 грех 2 ⁡ θ д ф 2 ) .
Конформное преобразование — это функция, зависящая от времени, которую мы запишем как Ом   "="   а ( т ) так что это дает метрику FLRW
д с 2   "="   д т 2   −   а ( т ) 2 ( д р 2 1 − к р 2 + р 2 д θ 2 + р 2 грех 2 ⁡ θ д ф 2 ) .

Спасибо, но я не совсем уверен, что это отвечает на мой вопрос о конформном преобразовании или, скорее, о масштабном коэффициенте, являющемся инвариантом. Разве все наблюдатели, независимо от системы отсчета, не согласны с масштабным коэффициентом? Он привязан к Ricci Scala, который также является инвариантом.
Масштабный коэффициент - это своего рода зависящий от времени конформный фактор, который расширяет пространственную поверхность. Действительно, все наблюдатели соглашаются с одним и тем же масштабным коэффициентом в данный момент времени, определяемым поверхностью Хаббла.
@Lawrence_B._Crowell Как насчет термина для дифференциала масштабного коэффициента здесь? д Ом Не должна ли такая величина быть инвариантной и на хаббловской поверхности?
Согласен, что просто означает, что пространство-время изотропно.
Имеет ли наблюдатель на расширяющейся трехсфере гиперболическое чувство времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v