Каноническое разделение бозонного газа [дубликат]

бозонный$1D$ $N$гармонические осцилляторы допускают "исключительно" замкнутую форму канонической статистической суммы:

$Z_{N}=\prod_{n=1}^{N}\frac{q^{1/2}}{1-q^{n}}$где$q=e^{-\beta \hbar \omega}$

Это выражение напоминает своего рода большую каноническую статистическую сумму для системы бозонных "фононов", имеющих конечное число возможных энергетических спектров с нулевым химическим потенциалом.

Можно вывести это выражение, заметив,

Площадь таблицы Юнга = сумма длин столбцов = сумма длин строк

Начнем с подсчета способов подсчета состояний. Для классического газа неразличимых частиц энергетический спектр непрерывен и возможно вырождение. Я предполагаю, что вы знаете, как получить это из статистики МБ и как включить эффекты пересчета из-за неразличимости.

Вам необходимо просуммировать ненормализованные вероятности всех различных способов, которыми бозоны могут занимать уровни энергии SHO с целым интервалом. его легче вывести в большом каноническом ансамбле, потому что ограничение фиксированного числа частиц усложняет суммирование.

Каноническая статистическая сумма может быть записана в энергетическом базисе как

$$Z_{can} =tr(e^{-\beta H}) = \sum_{\{n(j)\}}exp\left(-\beta \sum_j \hbar\omega(j+\frac{1}{2})n(j)\right)$$

с учетом ограничения,

$$\sum_j n(j) = N.$$

На практике эта сумма сложна, поэтому люди обычно используют функцию большого распределения для построения функций распределения. Мы можем ослабить это ограничение, введя химический потенциал. Затем,

$$Z_{GC} = \prod_{j}\left[ 1-exp\left(\beta \mu - \beta \hbar\omega(j+\frac{1}{2})\right) \right]^{-1}$$