Классическая и полуклассическая трактовки идеального газа.

В полуклассическом подходе к идеальному газу статистическая сумма для системы записывается как

Z "=" Z ( 1 ) Н Н !
где Z ( 1 ) является статистической суммой одной частицы и Н это количество частиц. Он полуклассический в том смысле, что мы учитываем неразличимость частиц, поэтому делим на Н ! .

Полученное выражение для энтропии системы имеет вид

С "=" Н к ( п ⁡ [ ( В Н ) ( 2 π м к Т час 2 ) 3 / 2 ] + 5 2 )

Теперь рассмотрим полностью классический анализ. Там Z ( 1 ) "=" ∑ Е опыт ⁡ ( − Е к Т ) , где Е "=" п 2 / 2 м (при условии отсутствия потенциалов взаимодействия). Задача может быть преобразована в интеграл по фазовому пространству гамильтониана, чтобы дать

Z ( 1 ) → ∫ опыт ⁡ ( − 1 2 м к Т ( п Икс 2 + п у 2 + п г 2 ) ) г 3 п _ г 3 Икс _
Затем это можно переписать как
∫ опыт ⁡ ( − п Икс 2 2 м к Т ) г п Икс ∫ опыт ⁡ ( − п у 2 2 м к Т ) г п у ∫ опыт ⁡ ( − п г 2 2 м к Т ) г п г ⋅ В
где В это объем контейнера. Это интегралы Гаусса, поэтому оценка выполняется немедленно. Результат в том, что Z ( 1 ) "=" ( 2 π м к Т ) 3 / 2 В Соответствующую энтропию можно рассчитать, и в результате получится, что
С "=" Н к ( 3 2 + п ⁡ ( ( 2 π м к Т ) 3 / 2 В ) )
.

Мой вопрос: каково значение факторов 5 / 2 в полуклассической трактовке и фактор 3 / 2 в классическом лечении и чем они отличаются? Они выглядят как число степеней свободы одноатомной и двухатомной молекулы при комнатной температуре, но я думаю, что это совпадение.

К вашему сведению, первая формула для энтропии на самом деле является аппроксимацией, даже классической, потому что она использует аппроксимацию Стирлинга для гамма-функции.
Привет, Джамал С. Да, я знаю об этом - также деление на Н ! само по себе является приближением. Поправка учитывает только случай, когда все частицы находятся в разных состояниях.
Почему вы исключили фактор 1 / Н ! в «классическом» лечении? Таким образом, идентичные частицы могут (и должны) по-прежнему рассматриваться как идентичные частицы в классической статистической механике.
@joshphysics, тот факт, что частицы идентичны, означает, что они имеют одинаковые физические свойства, такие как масса или заряд. Тождество частиц само по себе не означает, что мера состояний в фазовом пространстве должна быть уменьшена на соответствующее число их перестановок. Редукция может быть сделана на основании привязки статистической формулы к обычной термодинамической энтропии, но это не обязательно. arxiv.org/abs/1012.4111
@JánLalinský Интересно. Я посмотрю ссылку. Спасибо.

Ответы (2)

Какого черта вас беспокоит разница между 3/2 и 5/2? Ваши формулы отличаются не только на 3/2 и 5/2, но и на п ⁡ ( Н ) . Для термодинамического предела п ⁡ ( Н ) бесконечность, и поэтому намного больше, чем 1.

Число 3/2 в данном контексте не имеет никакого значения, кроме того, что оно равно 5/2-1. Число 5/2 дает правильную энтропию, правильную для идеального нерелятивистского газа, состоящего из неразличимых частиц с одним спиновым состоянием и без степеней свободы, кроме положения и импульса. Однако следует понимать, что энтропия определяется с точностью до константы только третьим законом термодинамики. Этот третий закон, в свою очередь, не был бы действителен, если бы в его основе не было квантовой механики. Таким образом, это по своей сути КВАНТОВОЕ понятие, и его невозможно понять без квантовой механики.

Полуклассически, от Земанского:

С "=" к п ⁡ Ом , Ом "=" ∏ я ( г я Н я Н я ! ) , Н я "=" Н Z г я е − ϵ я / к Т

можно найти, применяя приближение Стирлинга: п ⁡ ( Икс ! ) ≈ Икс п ⁡ Икс − Икс :

п ⁡ Ом "=" ∑ я Н я п ⁡ г я Н я + Н "=" ∑ я Н я ( п ⁡ Z Н + ϵ я к Т ) + Н "=" Н ( п ⁡ Z Н + U Н к Т + 1 )

С "=" Н к ( п ⁡ Z Н + U Н к Т + 1 )

The U термин для одноатомного газа вносит вклад 3 / 2 .

[Кстати, ваш классический Z нужна какая-то константа с размерами импульса x расстояние в знаменателе, чтобы сделать результат безразмерным. Хуан называет это "h"... ]

Классическая и полуклассическая трактовки идеального газа.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v