Неразличимость в статистической механике

У меня есть два вопроса об использовании концепции неразличимости для определения статистической суммы в статистической механике, например, при определении статистической суммы идеального газа.

1: Почему мы предполагаем, что частицы в газе неразличимы? В КМ набор из N частиц неразличим только в том случае, если их объединенная волновая функция либо симметрична (бозоны), либо антисимметрична (фермионы) при обмене двумя частицами. Почему мы делаем это предположение для комбинированной волновой функции частиц в газе (чьи одночастичные волновые функции задаются, как обычно, решениями задачи о частице в трехмерном ящике)?

2: Было обнаружено, что если количество возможных одночастичных состояний при низкой энергии намного больше, чем количество частиц, то вы можете аппроксимировать статистическую сумму, введя коэффициент 1/(N!) (где N — количество частиц) для того, чтобы учесть неразличимость частиц. Это связано с тем, что большинство состояний системы будут такими, что все частицы находятся на разных энергетических уровнях. Но если мы предположим, что частицы являются фермионами, то, конечно, частицы ДОЛЖНЫ находиться в разных состояниях (из-за принципа запрета Паули), а это означает, что введение множителя 1/(N!) является точным (а не просто приближением)?

Здравствуйте, я попытался ответить на ваш первый вопрос. Я думаю, вам следует опубликовать отдельный вопрос для второй части, я не уверен, в каком контексте вы видели это приближение, и вам следует добавить больше деталей, возможно, ссылку, где вы это видели :)
@ user2723984 Я говорю о том, как рассчитывается статистическая сумма для идеального газа. В классической модели с различимыми частицами статистическая сумма системы может быть найдена путем перемножения одночастичных статистических сумм. В случае неразличимости вы вводите дополнительный множитель 1/(N!) к классической статистической сумме (той, которая дается произведением одночастичных статистических сумм).
@user2723984 user2723984 Я использую свои статистические книги по механизмам в качестве справки, но если вы перейдете к «функциям разделения подсистем» в этой статье Википедии, то они говорят об одном и том же: en.wikipedia.org/wiki/…

Ответы (2)

1: Почему мы предполагаем, что частицы в газе неразличимы?

Потому что если мы этого не сделаем, то обнаружим, что энтропия системы не является экстенсивной (см. парадокс Гиббса ), что приводит к очевидным нарушениям второго начала термодинамики. Решение, предложенное Джосайей Гиббсом, состоит в том, чтобы рассматривать частицы как неразличимые, вводя дополнительный множитель 1 / Н ! в функции кратности. Это один из способов проявления фундаментального квантово-механического свойства в якобы классической системе.

2: [..] Но если мы предположим, что частицы являются фермионами, то, конечно, частицы ДОЛЖНЫ находиться в разных состояниях (из-за принципа запрета Паули), а это означает, что введение множителя 1/(N!) является точным (а не просто примерно)?

Нет, это все еще приблизительно. Представьте, что ваша система имеет три энергетических уровня. Е "=" { 0 , ϵ , 2 ϵ } и три частицы с полной энергией 3 ϵ .

  • Для классических различимых частиц мы могли бы иметь каждую частицу на другом энергетическом уровне или все три частицы на втором энергетическом уровне. Существует шесть способов упорядочить первое и один способ упорядочить второе, что дает общую кратность 7. Деление на 3 ! "=" 6 дает скорректированную кратность 7 / 6 .
  • Для неразличимых бозонов вышеупомянутые шесть возможных расположений одной частицы на уровне энергии соответствуют одному и тому же микросостоянию. Следовательно, общая кратность 2 .
  • Для неразличимых фермионов мы дополнительно имеем, что микросостояние со всеми частицами на втором энергетическом уровне запрещено, что означает, что полная множественность равна 1 .

Кстати, вероятность того, что все три частицы имеют одинаковую энергию, равна 1 / 7 как вычислено классически, 1 / 2 для неразличимых бозонов и 0 для неразличимых фермионов. Это подтверждает эмпирическое правило, согласно которому бозоны с большей вероятностью занимают одно и то же состояние, чем предполагает классический анализ, с противоположным правилом для фермионов.

Почему мы предполагаем, что частицы в газе неразличимы? В КМ набор из N частиц неразличим только в том случае, если их объединенная волновая функция либо симметрична (бозоны), либо антисимметрична (фермионы) при обмене двумя частицами. Почему мы делаем это предположение для комбинированной волновой функции частиц в газе (чьи одночастичные волновые функции задаются, как обычно, решениями задачи о частице в трехмерном ящике)?

Я думаю, что у вас есть это задом наперед. Мы получаем результат, что частицы являются либо фермионами, либо бозонами именно потому, что мы предполагаем, что они неразличимы. Когда вы предполагаете, что частицы неразличимы в статистической механике, вы получаете либо фермионную, либо бозонную модели.

Почему мы предполагаем, что частицы неразличимы? Потому что «неразличимы» — это просто способ сказать, что мы рассматриваем все характеристики частиц в нашей модели, то есть я не могу измерить ничего, что я уже не рассматриваю как переменную, которая позволила бы мне различать две частицы.

Пример: предположим, у меня есть две частицы одинаковой массы и без заряда. У них есть 2 уникальных свойства, которые их идентифицируют: их положение и их импульс. Они «неразличимы» в том смысле, что если взять частицу 1 и измените его так, чтобы его положение и его импульс совпадали с импульсом частицы 2 , и наоборот, то эффективно в модельной частице 1 стал частицей 2 , и наоборот, и ничего из физики не изменилось. Система будет вести себя точно так же, как если бы я ничего не делал. Если частицы идентичны во всем, кроме положения и импульса, как еще вы собираетесь их обозначить, как не «частица, которая здесь, и медленная, и частица, которая там, но быстрая»? Следовательно, нет смысла присваивать ярлыки типа «частица 1 и частица 2 ", но все нужные нам лейблы находятся в штатах.

Предположения о неразличимости становятся интересными в том, что обычно у нас есть эти метки для частиц: они являются метками соответствующих гильбертовых пространств, образующих комбинированное пространство. ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 . Процесс получения бозонов и фермионов из различимых частиц есть процесс выбора порций ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 это инвариантно при замене этих меток, что является математическим способом сказать: «Если я назначу частице 1 все свойства частицы 2 и наоборот, ничего не меняется».

Это резко меняется, если вы искусственно делаете частицы различимыми, например, вы назначаете фиксированное положение, например, «частица слева и частица справа», и вы хотите смоделировать поведение какой-либо другой переменной, скажем, их спины. Тогда система не является инвариантной относительно обмена частицами, т.е. вы хотите, чтобы «вверх-вниз» было физически отличным состоянием от «вниз-вверх», и, следовательно, у вас больше нет фермионов или бозонов. Так обстоит дело, например, в решеточных спиновых системах.

Я не уверен, как это объясняет, почему частицы в газе неразличимы. Если неразличимость определяет понятия бозонов и фермионов, то почему бы просто не присвоить частицам в газе какое-нибудь другое имя/свойство? В классической модели частицы в газе различимы. Вы можете отличить их по соответствующим траекториям. Насколько я понимаю, частицы неразличимы в КМ только в том случае, если их «траектории» смешались, так что вероятность того, что частица 1 находится в точке x_1, а частица 2 — в точке x_2, равна вероятности того, что частица 1 находится в точке x_2, а частица 2 — в точке x_1.
И, конечно же, два фермиона не обязательно должны быть неразличимы. Если у вас есть незапутанная система пары электронов, то вы можете различать частицы по их одночастичным волновым функциям (из-за принципа Паули эти волновые функции должны быть разными, и, следовательно, вы можете различать частицы).
Не совсем, частицы неразличимы в КМ, если их замена не должна изменить физику, т.е. | Икс ⟩ 1 ⊗ | у ⟩ 2 должно быть таким же, как | у ⟩ 1 ⊗ | Икс ⟩ 2 . Единственное, что имеет значение, это «есть частица в положении Икс и частица в положении у ", а не то, какая из двух частиц находится в каком положении, потому что частицы идентичны во всех других отношениях, кроме положения, их положение - единственный способ различить их". Икс и частица в положении у " математически переводится в пространство Фока.
Отсюда следует тот факт, что правильная волновая функция всегда будет выглядеть примерно так: | Икс ⟩ | у ⟩ + | у ⟩ | Икс ⟩ или подобные, потому что это единственные допустимые суперпозиции. Классические частицы также неразличимы, если они характеризуются только своей траекторией, но это, насколько я знаю, не имеет очень глубоких последствий.
Пример с классическими частицами: у вас есть два мяча: мяч 1 и мяч 2 . Они совершенно идентичны, за исключением того, что один в моей правой руке, а другой в левой. Теперь я прошу вас закрыть глаза, несколько раз поменять их местами и спросить: какой из них мячик 1, а какой мячик 2? Вы не сможете сказать, потому что в первую очередь не было ни мяча 1, ни мяча 2, только один в правой руке и один в левой руке. Шарики различаются только точкой, которую они занимают в фазовом пространстве, т.е. только своим положением.
Если бы шарики были электронами, а вы сказали бы, что «их состояние | Икс ⟩ | у ⟩ ", вы, должно быть, делаете что-то не так, потому что в этом случае вы могли бы провести какой-то эксперимент, который сказал бы вам, поменялись местами частицы или нет, что означает, что частицы в конце концов не были идентичными.
Да, но я, конечно, говорю о квантовой неразличимости, а не о классической, о которой вы говорили в своем последнем комментарии. Как вы сказали, комбинированная волновая функция будет задана как суперпозиция всех перестановок частиц в системе, когда мы говорим о квантовой неразличимости. Мой вопрос заключается в том, почему мы предполагаем, что частицы в газе неразличимы таким образом, когда существуют другие возможные состояния объединенной системы.
Я не уверен, что вы подразумеваете под «когда есть другие возможные состояния системы». Мы предполагаем, что частицы в газе неразличимы, потому что это интуитивно понятно и дает правильные экспериментальные предсказания. Как еще вы собираетесь маркировать частицы в газе, если не по их положению и импульсу? Частицы в газе подобны шарам в классических примерах, они характеризуются только своим состоянием, если только вы не назовете их явно. Предполагается, что частицы в газе идентичны, за исключением их положения, импульса, вращения или любых других свойств, которые вы моделируете.
Теперь, если бы у вас была смесь газов, скажем, кислорода и азота, то их можно было бы различить. На самом деле вы могли бы сказать «атом кислорода здесь, а атом азота там», и если вы поменяете их местами, то теперь у вас будет «атом азота здесь, а атом кислорода там», но это потому, что азот и кислород различимы другие свойства, не являющиеся позицией. Другими словами, вы бы заметили, если бы они были поменяны местами.
«они характеризуются только своим состоянием, если вы явно не пометите их». Точно. Если они не полностью неразличимы, то их в принципе можно различить, используя их квантовые состояния (или их положение и импульс в классическом случае). Но полная неразличимость устанавливается, если нет возможности различить в этом случае, так как вероятность того, что частица 1 и 2 находятся в состоянии 1 и 2 соответственно, такая же, как вероятность того, что частица 1 и 2 находится в состоянии 2 и 1 соответственно.
Неразличимость в статистической механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v