Катушка индуктивности и конденсатор с питанием от постоянного тока

Если предположить, что сопротивление в цепи отсутствует, то ток в цепи будет определяться уравнением$I(t) = \mathcal E \sqrt {\frac CL} \sin \omega_0 t$где$\omega_0 = \sqrt\frac {1}{LC}$.

Суммарное напряжение в вашей цепи всегда должно равняться нулю.

$$\mathcal E + v_{\rm capacitor} + v_{\rm inductor} = 0 \left [ \Rightarrow \mathcal E + \frac Q C + L \frac {dI}{dt} =0 \right]$$

с дифференциальным уравнением, которое вы не хотите использовать в скобках.

Чтобы попытаться объяснить, что происходит, я нарисовал серию временных диаграмм с$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.

Диаграмма 1.
В момент замыкания ключа ток равен нулю, а напряжение на катушке индуктивности противодействует приложенному напряжению от ячейки, потому что, хотя ток равен нулю, скорость изменения тока есть.
На конденсаторе нет заряда, поэтому напряжение на конденсаторе равно нулю.

Диаграмма 2
Теперь есть ток,$i$, в схеме заряжается конденсатор который я показал плюсом и минусом между "пластинами" конденсатора и есть напряжение$v_{\rm C}$через конденсатор.
Однако скорость изменения тока уменьшилась, поэтому теперь на катушке индуктивности есть меньшее напряжение v_{\rm L}$.
Поскольку через катушку индуктивности протекает ток, энергия сохраняется в ее магнитном поле (показано красным), а также энергия накапливается в электрическом поле, создаваемом конденсатором.
Вся эта энергия поступает из клетки.

Диаграмма 3
Ток в цепи достигает максимального значения$I$и напряжение на конденсаторе теперь равно по величине напряжению на ячейке$\mathcal E$.
В это время мгновенная скорость изменения тока равна нулю, поэтому на катушке индуктивности нет напряжения, и общее напряжение в цепи снова равно нулю.
И катушка индуктивности, и конденсатор хранят больше энергии в своих полях.

Диаграмма 4
Эта диаграмма может вас удивить, потому что напряжение на конденсаторе теперь больше, чем напряжение на ячейке.
Это происходит из-за того, что ток, который показан на диаграмме 3 , не может прекратиться мгновенно, и поэтому конденсатор продолжает заряжаться, но с уменьшенным током.$i$в цепи.
Обратите внимание, что поскольку ток теперь уменьшается, напряжение на катушке индуктивности изменило полярность, и снова общее напряжение в цепи равно нулю.
Катушка индуктивности отдала часть своей накопленной энергии, но энергия, запасенная в конденсаторе, все еще увеличивается.

Диаграмма 5.
В конце концов напряжение на конденсаторе достигает удвоенного напряжения на ячейке, и ток перестает течь.
Заряд конденсатора максимален, как и запас энергии внутри него.
Хотя через катушку индуктивности не протекает ток, все равно существует мгновенная скорость изменения тока, которая создает напряжение на катушке индуктивности, равное напряжению на ячейке.$\mathcal E$и поэтому общее напряжение в цепи по-прежнему равно нулю.
Катушка индуктивности не имеет связанного с ней магнитного поля и поэтому не накапливает энергию.

Надеюсь, теперь вы сможете следовать последующим диаграммам и понять, что диаграмма после диаграммы 8 — это диаграмма 1 , поскольку вся последовательность повторяется (вечно).

В целом за один цикл нет чистой передачи энергии между ячейкой и остальной частью цепи.

---

Напряжение на конденсаторе равно$v_{\rm C} = (-) \mathcal E(1-\cos \omega_0 t)$а напряжение на катушке индуктивности$v_{\rm L} = (-) \mathcal E\, \cos \omega_0 t$.

---

Если бы в цепи было сопротивление, то ток стремился бы к нулю при стремлении времени к бесконечности с точным видом изменения тока во времени в зависимости от значений емкости, индуктивности и сопротивления в цепи.

---

Вы заметите, что существует большее сходство между вашей схемой и схемой, которая рассматривалась в этом вопросе, где конденсатор имел начальный заряд, а в цепи не было ячейки.

---

Обновление в результате комментария от @Alex

Чтобы проиллюстрировать, что происходит при изменении сопротивления, я использовал копию Circuit Sandbox Массачусетского технологического института, чтобы получить некоторые графики зависимости тока от времени для последовательной схемы LCR со ступенчатым входом и различными значениями сопротивления.
(Обратите внимание, что эта Circuit Sandbox не работала для меня с использованием Firefox, поэтому вместо этого я использовал Edge).

Критическое демпфирование для этой цепи происходит, когда сопротивление$2\Omega$и система достигает стационарного состояния (ток = ноль) без перерегулирования за кратчайшее время.

---

Вот графики напряжения и тока при сопротивлении$0.2\Omega$.

Поскольку вы хотите избежать дифференциальных уравнений, вместо этого я буду рассматривать так называемую Phasor domain , которая на самом деле не что иное, как преобразование Фурье исходных сигналов.

В векторной области мы будем в основном рассматривать комплексные значения: комплексные напряжения, комплексные сопротивления (которые обозначаются$Z$и называется импедансом): это просто математическое удобство, и в конце мы всегда будем получать физические реальные значения.

На данный момент забудьте об активных частях схемы и сосредоточьтесь на пассивных элементах, то есть забудьте о переключателе и источнике постоянного тока. Теперь давайте проверим поведение остальных элементов, если бы мы задали комплексное напряжение$V(t)=e^{i\omega t}$:

• Для конденсатора имеем уравнение$C\frac{dV}{dt}=I$, следовательно, мы получаем

  $$I=i\omega C e^{i\omega t}$$ означает, что импеданс $$Z=\frac{V}{I}=\frac{1}{i\omega C}$$

• Для индуктора имеем уравнение$L\frac{dI}{dt}=V$, следовательно, мы получаем

  $$i\omega L I=e^{i\omega t}$$ означает, что импеданс $$Z=\frac{V}{I}=i\omega L$$

Поскольку конденсатор и катушка индуктивности включены последовательно, полное сопротивление равно их сумме (как и в случае сопротивлений), следовательно, полное сопротивление пассивной части цепи равно

$$Z=i\omega L+\frac{1}{i\omega C}=\frac{1-\omega^2 LC}{i\omega C}$$

Это означает, что напряжение на конденсаторе для синусоидального сигнала переменного тока будет

$$V_\text{capacitor}=V_\text{input}\frac{Z_\text{capacitor}}{Z_\text{total}}=V_\text{input}\frac{\frac{1}{i\omega C}}{\frac{1-\omega^2 LC}{i\omega C}}$$ следовательно, отношение входного напряжения к выходному напряжению равно $$\frac{V_\text{output}}{V_\text{input}}=\frac{1}{1-\omega^2 LC}$$ где мы приняли выходное напряжение как напряжение конденсатора.

Сразу можно заметить, что это отношение стремилось бы к бесконечности, если бы мы возбудили систему источником переменного тока с частотой

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$ Это называется резонансной частотой. На этой частоте система накапливает каждый входящий цикл мощности и бесконечно увеличивает свою мощность. В реальном мире наличие резисторов в системах и выход из строя оборудования предотвращает это расхождение до бесконечности.

Если мы теперь вернемся к нашему вопросу, нам просто нужно знать, как мы можем записать наше возбуждение в терминах чистых синусоидальных волн постоянной частоты. Если мы это знаем, то можем исследовать выход системы, потому что имеем дело с линейной системой: эффект суммы синусоидальных сигналов равен сумме эффектов отдельных сигналов.

Наш входной сигнал представляет собой просто ступенчатую функцию, или так называемую тета-функцию Хевисайда, которая равна нулю перед$t=0$и постоянный после$t=0$где мы выбираем$t=0$как время включения переключателя. Теперь нужно разложить тета-функцию Хевисайда на чистые синусоиды: здесь я пропущу вычисления; в основном это преобразование Фурье этой функции. Ответ

$$V_\text{input}(f)=E\left(\frac{i}{\sqrt{2\pi}f}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(f)\right)$$ это означает, что мы создаем входной сигнал, который разлагается на $V_\text{input}(f)$для всех частот $f$. Теперь мы можем найти выходной сигнал для отдельных $f$значения, используя приведенное выше соотношение:

$$V_\text{output}(f)=\frac{E}{1-4 \pi^2 f^2 LC}\left(\frac{i}{\sqrt{2\pi}f}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(f)\right)$$ где мы использовали тот факт, что собственная частота $\omega$является $2\pi f$.

Теперь мы можем получить наш результат, используя обратное преобразование Фурье, эффективно суммируя вклад всех чистых синусоид с различными значениями.$\omega$значения: Опять же, это связано с тем, что система является линейной. Я пропущу вычисления, но вы легко можете использовать Mathematica, чтобы сделать это за вас, как видно на прикрепленном рисунке. Результат

$$V_\text{output}(t)=\left\{\begin{aligned}E\left(1-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{t}{2 \pi\sqrt{C L}}\right)\right)\quad t>0\\0\quad t<0\end{aligned}\right.$$ что математически верно, но с неправильным граничным условием. Я комментирую это ниже. Тем не менее, он показывает нам соответствующее поведение.

На картинке видно, что напряжение просто продолжает колебаться. Графики отражают три факта:

• Энергия продолжает перемещаться от накопления в конденсаторе к накоплению в катушке индуктивности.
• Поскольку нет сопротивления, нет и демпфирующего эффекта, поэтому колебания не затухают!
• Выходная форма зависит только от характеристик пассивной цепи; а именно индуктивность индуктора и емкость конденсатора. Входное напряжение только масштабирует выходную форму. Это общее понятие: в технике эта характеристика называется импульсной характеристикой, тогда как в физике она известна как функция Грина, хотя на самом деле импульсная характеристика является частным случаем более общей функции Грина.

РЕДАКЦИИ (Ответы на комментарии):

• Раньше была опечатка, где я написал$\sqrt[4]{LC}$вместо$\sqrt{LC}$. Я исправил это выше, теперь все соответствует размерам.
• Результат соответствует граничному значению при$t=0$; однако это граничное значение плохо определено. Мы знаем, что входное напряжение$E$для$t>0$и$0$для$t<0$; однако мы не знаем, что именно в$t=0$так как включение выключателя - это прерывистый скачок. Математически обычный выбор состоит в том, чтобы принять его за половинное значение, следовательно,$E/2$в$t=0$, это действительно входит в определение теты Хевисайда и в системе Mathematica, и именно поэтому мы получаем$E/2$для$t=0$на нашем выходе! Здесь я был совершенно не прав, я понял это благодаря @Alfred
• Если кто-то хочет определить поведение переключателя по-другому, можно соответствующим образом повторить вычисления (на самом деле использование дифференциальных уравнений было бы намного проще). Выход не имеет ничего общего с переключателем, но с выбранным граничным условием. Однако при выбранном граничном условии в итоге статическая характеристика$E$на выходе останется прежним, тогда как ответ на переход$-\frac{E}{2}\cos(\frac{t}{2\pi\sqrt{L C}})$будет масштабироваться до$-E\cos(\frac{t}{2\pi\sqrt{L C}})$, следовательно, у нас было бы $$V_\text{output}=V_\text{capacitor}=E\left(1-\cos(\frac{t}{2\pi\sqrt{L C}})\right)$$ следовательно $$I=C\frac{dV_\text{capacitor}}{dt}=\frac{E}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\left(\frac{t}{2\pi\sqrt{L C}}\right)$$

Дальнейшие комментарии

ИМО, самый простой подход к этому вопросу - использовать дифференциальные уравнения. Однако, поскольку ОП просил нас избегать этого, я попытался объяснить это, используя тот факт, что электрические системы являются линейными системами и что собственные функции линейных систем являются экспоненциальными функциями; это чистая синусоида. Я считаю, что это концептуально наиболее близкое приближение к использованию дифференциальных уравнений, хотя и не столь строгое. В этой части я рассмотрю некоторые вопросы, касающиеся описанного выше подхода.

Прежде всего, обратное преобразование Фурье нашего вывода,

$$V_\text{output}(f)=\frac{E}{1-4 \pi^2 f^2 LC}\left(\frac{i}{\sqrt{2\pi}f}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(f)\right)$$ на самом деле $$V_\text{output}=\text{sgn}(t) \sin ^2\left(\frac{t}{4 \pi \sqrt{C L}}\right)+\frac{1}{2}$$ который имеет поведение, как на графике ниже:

Есть несколько команд по порядку:

• Сюжет наивно выглядит акаузальным, так как есть ненулевой сигнал еще до включения переключателя. Однако этот сигнал на самом деле является резонансным сигналом, о котором мы упоминали выше. Как мы обсуждали там, эффективное сопротивление (импеданс) для этого сигнала равно нулю для схемы, поэтому этот сигнал никогда не может исчезнуть в общем решении: он не имеет ничего общего с включением или выключением переключателя! Эффект переключения заключается в постоянном смещении выходного сигнала, что является причинно-следственным.
• На языке дифференциальных уравнений резонансный сигнал — это однородное решение, которое присутствует в системе, если только оно не подавлено граничным/начальным условием. Эффект переключения — это конкретное решение, которое представляет собой просто причинно-следственный сдвиг выходного сигнала.
• В части EDITS выше я запутался и неправильно заявил, что причина напряжения$1/2$в$t=0$происходит из-за условности Хевисайд-тета. Это неправда. Я полагаю, что это связано с тем фактом, что предполагается, что сигналы сходятся к нулю при минус бесконечности в преобразовании Фурье, поэтому среднее значение синуса должно быть равно 0 для$t<0$, форсирующий сигнал$1/2$в$t=0$оставаться непрерывным с$t>0$часть. Если вместо этого мы наложим условие, что оно должно быть$0$в$t=0$, мы получаем правильный результат для$t>0$, и нерелевантный/нефизический сигнал для$t<0$.
• Лучший способ выполнить этот расчет — использовать область Лапласа вместо области Фурье, где мы рассматриваем преобразование Лапласа из$0$к$\inf$. Это позволило бы реализовать граничное условие непосредственно в области Лапласа и не получить нефизическую часть для$t<0$. Можно также сделать это; Я избегал этого, поскольку я не стремлюсь к строгому или эффективному методу, а концептуально простому, а пространство Phasor легче понять IMO.

Чтобы оправдать приведенные выше объяснения, составим дифференциальные уравнения:

$$\begin{align} I_c=&I_l \Rightarrow\\ \frac{d I_c}{d t}=&\frac{d I_l}{d t}+\frac{a}{L} \Rightarrow\\ C\frac{d^2 V_c}{d t^2}=&\frac{V_l}{L}+\frac{a}{L} \Rightarrow\\ LC\frac{d^2 V_c}{d t^2}=&V_i-V_c+a \Rightarrow\\ \left(LC\frac{d^2}{d t^2}+1\right)V_c=&V_i+a \end{align}$$ где $V_i$входное напряжение.

Однородным раствором является раствор

$$\left(LC\frac{d^2}{d t^2}+1\right)V_c=0$$ что просто $$V_c^\text{homogeneous}=b\cos\left(\frac{t+c}{\sqrt{LC}}\right)$$ Это точно такой же сигнал, который мы наблюдаем для $t<0$на графике выше.

Правильная процедура на самом деле состоит в том, чтобы использовать функцию Грина с входным сигналом с соответствующими граничными условиями: это то, что инженеры EE назвали бы импульсной характеристикой. Область Лапласа идеально подходит для этой работы для линейных систем. С другой стороны, мое объяснение выше соответствует поиску конкретного решения для$V_i=E$вместо этого, объединив его с однородным раствором, наложив$V_E(t=0)=0$и отбрасывание$t<0$часть.

Теперь мы знаем, что ток в катушке индуктивности увеличивается, а ток в конденсаторе уменьшается со временем.

В общем случае это неверно, и здесь, конечно, не может быть правдой, поскольку катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно и, следовательно, имеют одинаковый ток.

Если вы замените катушку индуктивности резистором (чтобы сформировать последовательную RC-цепь), то вы можете сделать вывод, что ток конденсатора уменьшается со временем после замыкания ключа (при нулевом начальном условии).

Точно так же, если вы замените конденсатор резистором (чтобы сформировать последовательную RL-цепь), то вы можете сделать вывод, что ток дросселя увеличивается со временем после замыкания ключа (при нулевом начальном условии).

Но было бы ошибкой применять эти выводы к последовательной LC-цепи. Однако вы можете получить представление о графике тока, тщательно рассуждая.

Во-первых, имейте в виду, что в любое время после замыкания ключа мгновенная сумма напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе должна равняться напряжению батареи.$E$.

Во-вторых, следует признать, что последовательный ток должен изначально увеличиваться из-за напряжения$E$через индуктор (поскольку начальное напряжение на конденсаторе равно нулю). Затем рассуждайте следующим образом:

По мере увеличения напряжения на конденсаторе (из-за зарядного тока) напряжение на катушке индуктивности должно уменьшаться (чтобы сумма оставалась равной$E$) и, таким образом , скорость увеличения последовательного тока уменьшается , т. е. ток все еще увеличивается, но не так быстро .

В какой-то момент напряжение на конденсаторе достигает$E$а затем напряжение на катушке индуктивности равно нулю , и, следовательно, последовательный ток перестал изменяться - последовательный ток достиг своего максимального значения, и конденсатор заряжается с максимальной скоростью.

Конденсатор продолжает заряжаться (из-за тока), поэтому напряжение на конденсаторе теперь превышает $E$что требует, чтобы напряжение индуктора стало отрицательным (чтобы сумма оставалась равной$E$). Поскольку напряжение катушки индуктивности отрицательное, последовательный ток должен уменьшиться .

Конденсатор продолжает заряжаться, но не так быстро, поскольку ток уменьшается и, в конце концов, ток уменьшается до нуля, конденсатор достиг своего максимального напряжения, а напряжение на катушке стало самым отрицательным (чтобы сумма оставалась равной$E$). Это означает, что ток убывает наиболее быстро и, по сути, ток уменьшается через ноль, становясь отрицательным.

Отрицательный ток начинает разряжать конденсатор, напряжение на конденсаторе начинает уменьшаться, поэтому напряжение на катушке индуктивности становится менее отрицательным. При уменьшении напряжения на конденсаторе до$E$, напряжение дросселя снова равно нулю , и последовательный ток больше не изменяется - последовательный ток достиг своего самого отрицательного значения, и конденсатор разряжается с максимальной скоростью.

К настоящему времени, я полагаю, вы можете легко проследить оставшуюся часть цикла. Конденсатор продолжает разряжаться до тех пор, пока его напряжение не станет равным нулю, последовательный ток не станет равным нулю, а напряжение на катушке индуктивности не станет равным нулю.$E$в этот момент схема вернулась в состояние в$t=0+$и цикл повторяется.

Ток через конденсатор определяется (ограничен) внешними компонентами (и, косвенно, напряжением на конденсаторе) и будет увеличиваться, уменьшаться или оставаться на нуле, в зависимости от того, что происходит в остальной части цепи.

Например, если конденсатор подключен к батарее, его ток будет определяться разностью напряжений на батарее и конденсаторе и внутренним сопротивлением батареи. По мере зарядки конденсатора разность напряжений уменьшается и, следовательно, ток (Vbat-Vcap)/r уменьшается.

В вашей схеме конденсатор соединен последовательно с катушкой индуктивности, которая, как вы указали, изначально будет вести себя как разомкнутая цепь, поэтому начальный ток через конденсатор, определяемый катушкой индуктивности, будет равен нулю.

По мере того, как ток через катушку индуктивности (и конденсатор) увеличивается, первоначально как di/dt=Vbat/L, конденсатор начинает заряжаться. Это уменьшит падение напряжения на дросселе и, соответственно, скорость нарастания тока, di/dt=(Vbat-Vcap)/L.

Таким образом, ток в цепи будет начинаться с нуля, а затем расти с уменьшающимся ускорением. На самом деле это начало синусоиды с частотой 1/2π√(LC).