Ток в индукторе сразу после замыкания ключа

Итак, у нас есть последовательная схема LCR.$V$является источником постоянного напряжения.$L$,$C$, и$R$представляет индуктивность, емкость и сопротивление в цепи соответственно. ток$I$протекает по цепи.

Теперь ток через каждый компонент одинаков. Итак, разность потенциалов между каждым компонентом, сложенная вместе, дает ЭДС$V$. Следовательно, дифференциальное уравнение принимает вид:

$$L\frac{dI}{dt}+\frac{Q}{C}+IR=V$$

где$Q$представляет собой заряд конденсатора и связан с током соотношением$I=\displaystyle{\frac{dQ}{dt}}$. Это означает, что у нас есть только одно неизвестное в уравнении, если мы заменим все$I$с точки зрения$Q$:

$$L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=V$$

которое является дифференциальным уравнением второго порядка. Дифференцируя снова относительно$t$и переписать с точки зрения$I$, мы получаем

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=\frac{dV}{dt}$$

Так как у нас есть постоянный источник постоянного напряжения,$\displaystyle{\frac{dV}{dt}=0}$. Следовательно

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0$$

Разделив все на$L$, у нас есть

$$\frac{d^2I}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{I}{LC}=0$$ или

$$\frac{d^2I}{dt^2}+2\alpha\frac{dI}{dt}+\omega_0^2 I=0$$

где$\displaystyle{\alpha=\frac{R}{2L}}$и$\displaystyle{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

Это ОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет вид:

$$s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0$$

Корни этого уравнения в$s$являются:

$s_1=-\alpha +\sqrt{\alpha^2-\omega^2}$и$s_2=-\alpha -\sqrt{\alpha^2-\omega^2}$

Общее решение дается:

$$I(t)=A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$$ .

Сейчас на$t=0$, пусть ток равен нулю. При включении тока ток экспоненциально возрастает до максимального значения. В противном случае требуется конечное время, чтобы ток в цепи принял постоянное значение. Ток не будет мгновенно возрастать до максимального значения. Это связано с наличием в цепи индуктивности и емкости. Вот почему мы говорим, что в отличие от резистивной цепи, в цепи LCR ток будет равен нулю сразу после замыкания ключа.

По второму закону Кирхгофа сумма всех напряжений вокруг контура равна нулю. То есть сумма напряжений на трех элементах вашей схемы, R, L и C, должна быть равна изменяющемуся во времени напряжению от источника:

$$V_R+V_L+V_C = V(t)$$

Как$V_R=RI$,$V_L=L\frac{dI}{dt}$и$V_C=\frac{Q}{C}$, мы получаем ваше уравнение, которое верно:

$$LI'(t) + RI(t) + \frac{1}{C}Q(t)=V(t)$$

Заменив$I=\frac{dQ}{dt}$и дифференцируя, приходим к ОДУ второго порядка:

$$LI′′(t) + RI′(t) + \frac{1}{C}I(t)= V'(t)$$

И если предположить, что ваш источник напряжения не меняется со временем,$V'(t)=0$.

Вы можете найти пошаговое решение ОДУ по этой ссылке (или в любом стандартном учебнике). Как видите, есть три разных варианта общего решения, в зависимости от переменных вашей конкретной схемы, поэтому начните подставлять свои$R$,$L$,$C$ценности на$\alpha$,$\omega_0$, и т.д. выражения (это коэффициенты, которые используются для упрощения вычислений), и узнайте, какое из них вам нужно. Затем вы можете попробовать подставить различные начальные условия (т. е. значения токов в цепи в начале) в ваше общее решение и изучить, как будет вести себя система при каждом из них. Таким образом, вы сможете найти ответ на свой вопрос.

Составление дифференциального уравнения

$$L \frac {dI}{dt} + RI + \frac {Q}{C} = V$$

не обязательно ответит на ваш вопрос: «Что и как я могу сделать вывод о токе в этой цепи сразу после замыкания ключа».

Если вы посмотрите на методы решения дифференциального уравнения, то где-то на пути к решению нужны начальные условия, одним из которых часто является условие, о котором вы спрашивали - начальный ток равен нулю.

---

Есть несколько упрощенных способов рассмотрения того, что может произойти:

1. Перед замыканием ключа средняя скорость/импульс подвижных электронов в цепи равна нулю.
   Переключатель замыкается, и почти мгновенно в цепи создается чистое электрическое поле.
   Это электрическое поле действует на подвижные электроны с конечной силой.
   Конечная сила, действующая на подвижные электроны, создает конечное ускорение подвижных электронов.
   Электрический ток — это чистое движение подвижных электронов в цепи.
   Подвижные электроны не могут начать двигаться мгновенно, поэтому начальный ток в цепи равен нулю.

2. Энергия, запасенная в индукторе, равна$\frac 1 2 L I^2$.
   Мгновенное конечное значение тока потребует бесконечной мощности, подводимой к индуктору.

---

Таким образом, ток, когда ключ замкнут, равен нулю, а скорость изменения тока в это время при условии, что конденсатор изначально разряжен, равна$\frac V L$

---

Отсюда вытекает интересный пример заряда конденсатора.$C$от батареи напряжения$V$через последовательный резистор$R$.
Дифференциальное уравнение для этого устройства имеет вид

$$RI + \frac {Q}{C} = V$$

Предполагая, что конденсатор не имеет заряда, когда ключ замкнут, используемое начальное условие состоит в том, что ток равен$\frac VR$- мгновенное изменение нулевого тока.
Когда эксперимент завершен, оказывается, что именно это и происходит.

В действительности ток увеличивается от нуля до примерно$\frac VR$за время, которое намного меньше, чем постоянная времени цепи$CR$.
Причина в том, что в цепи есть индуктивность, поскольку это петля из проволоки, но очень маленького значения, но значимого значения сразу после замыкания переключателя.

Компонент, который гарантирует, что ток равен нулю сразу после замыкания ключа, является катушкой индуктивности. Катушкам индуктивности не нравятся изменения тока, поскольку изменение тока означает, что магнитное поле, связывающее катушку индуктивности, изменяется, и это создает противо-ЭДС, противодействующую изменению.

Если вы замените катушку индуктивности на кусок провода, у вас будет RC-цепь, и ток, протекающий после замыкания ключа, будет равен$E/R$. Напряжение блокировки конденсатора изменяется, так что сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю.