Бесконечный набор конденсаторов и катушек индуктивности

Возможно, вы знакомы с удивительным результатом, который получается при вычислении эквивалента бесконечного массива резисторов . Что, если мы изменим эту схему и заменим резисторы конденсаторами и катушками индуктивности?

Следуя обозначениям, данным в приведенной выше ссылке, давайте заменим р 1 с С и р 2 с л так что

р 1 → Z 1 "=" − Дж ю С
р 2 → Z 2 "=" Дж ю л

где Дж является мнимой единицей. Снова используя результат, написанный по этой ссылке, мы получаем следующее уравнение:

Z е д 2 − Дж ю С Z е д − л С "=" 0

Решая это квадратное уравнение, получаем, что:

Z е д "=" Дж ю С ± − 1 ю 2 С 2 + 4 л С 2 "=" ± л С − 1 ( 2 ю С ) 2 + Дж 1 2 ю С

Таким образом, массив идеальных конденсаторов и катушек индуктивности приводит к комплексному ( не мнимому ) эквивалентному импедансу, если л > 1 4 С ю 2 . Это означает, что если цепь питается от источника, фактическая мощность будет рассеиваться, даже если каждый из отдельных импедансов является чисто реактивным. Как это понять?

бесконечный ряд л С эквивалентна линии передачи с постоянным волновым сопротивлением, следовательно, ее полное сопротивление является реальным , и это совершенно нормально, если вы считаете, что импульс, запущенный на одном конце, никогда не отражается.
Подумайте хорошенько об определении импеданса, чтобы разрешить этот парадокс. Если не получится, я напишу ответ.
@DanielSank Я совершенно не знаю, как это решить.

Ответы (1)

Сначала я думал, что вы только что заново открыли уравнения телеграфа, но потом я понял, что у вас конденсаторы и катушки индуктивности «наоборот» из того более обычного сценария (описанного здесь )

Даже если ваша ситуация необычна, есть способ понять, что происходит. Конденсаторы в вашей сети заряжаются, и хотя некоторые из этих зарядов носят временный характер, некоторые из них «продолжаются вечно» из-за бесконечной протяженности сети. Эта зарядка конденсаторов означает, что существует механизм накопления энергии — и я думаю, именно об этом говорят ваши уравнения.

Это намного легче понять, когда вы переключаете конденсаторы (чтобы быть р 2 на вашей схеме) и катушки индуктивности (будет р 1 ). Когда вы сделаете это, вы получите выражение для импеданса, которое будет стремиться к Z "=" л С когда ты делаешь л и С бесконечно малы при сохранении их отношения (что и происходит, когда вы рассматриваете линию передачи как состоящую из множества небольших катушек индуктивности и конденсаторов).

Когда у вас есть обычная линия передачи, импульс будет распространяться, и энергия будет накапливаться на единицу длины. Сохранение энергии неотличимо от рассеивания энергии (пока вы не получите отражение или какой-либо другой механизм для повторного извлечения энергии).

В случае идеальной линии передачи импеданс действителен. Здесь импеданс мнимый или комплексный, но никогда не является чисто действительным. Как это может быть, если используемая модель одна и та же в обоих случаях?
Если вы проведете свой анализ с перевернутыми компонентами, вы получите воображаемый член в L. Но когда вы понимаете, что в пределе бесконечно много бесконечно малых компонентов, L стремится к нулю (в то время как отношение L/C нет), тогда вы видите, как мнимая составляющая становится сколь угодно малой в непрерывной линии передачи.
Что с этой бумагой ? Кажется, что это противоречит процедуре, которую я выполнил в своем вопросе, говоря, что первый ход (убирание одной пары импедансов) незаконен. Я считаю, что это противоречит и вашему ответу.
Когда у вас есть конечное количество устройств, конечно, импеданс меняется, когда вы добавляете больше устройств? Кроме того, если вы управляете идеальной сетью в точной точке резонанса, вокруг вас будет плавать множество бесконечностей; опять же, "нормальная" математика не работает. Я не думаю, что рассуждения верны для общего (нерезонансного) случая.
Бесконечный набор конденсаторов и катушек индуктивности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v