Цепь RLC, отключающая источник напряжения

Question

Цепь RLC, отключающая источник напряжения

алкамид

Цепь RLC (на фото выше) управляется двумя уравнениями:

\begin{aligned} - я_{1} р & "=" - л \frac{д я_{2}}{д т} "=" \frac{д}{С} + В (т) \\ \frac{д д}{д т} & "=" я_{1} + я_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} -I_1 R &= -L \frac{dI_2}{dt} = \frac{q}{C}+V(t) \\ \frac{dq}{dt} &= I_1+I_2 \, . \end{align}$

$q$ удовлетворяет уравнению

\frac{д^{2} д}{д т^{2}} + \frac{1}{р С} \frac{д д}{д т} + \frac{1}{л С} д "=" - \frac{1}{р} \frac{д В}{д т} - \frac{1}{л} В .

$\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=-\frac{1}{R}\frac{dV}{dt}-\frac{1}{L}V \, .$ Система находится в стационарном состоянии (т.

d q / d t = 0

$dq/dt=0$ и

V (t) = Q / C

$V(t) = Q/C$ ) для отрицательного времени. В

t = 0

$t=0$ напряжение отключается и

V (t) = 0

$V(t) = 0$ для

t \geq 0

$t \geq 0$ .

Как получить начальные условия для системы, т.е. $q(0)=Q$ и $\dot{q}(0)=Q/RC$ ?

Моя попытка: рассчитать заряд в стационарном состоянии (непосредственно перед $t=0$ ), я могу установить все производные по времени равными 0. Тогда я получаю $V=-C/q$ и я могу определить $Q=-C/V$ . Я не знаю, как справиться с разрывом в $t=0$ чтобы получить $\dot{q}(0)$ хотя.

Дэвид З.

Да, последнее предложение ключевое. Вопрос о том, как справиться с прерывностью, превращает этот вопрос в концептуальный.

Даниэль Санк

Ради всего хорошего в этом мире, пожалуйста, не используйте

i

$i$ и

j

$j$ для обозначения тока в цепи. Оба они обычно означают

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$ . В физике обычно используют

i

$i$ а в технике используют

j

$j$ (потому что они используют

i

$i$ для тока). Пожалуйста, используйте

I_{1}

$I_1$ и

I_{2}

$I_2$ или что-то для токов, чтобы избежать массовой путаницы.

Ответы (2)

Цепь RLC, отключающая источник напряжения

Да, последнее предложение ключевое. Вопрос о том, как справиться с прерывностью, превращает этот вопрос в концептуальный.
Ради всего хорошего в этом мире, пожалуйста, не используйте $i$ и $j$ для обозначения тока в цепи. Оба они обычно означают $\sqrt{-1}$ . В физике обычно используют $i$ а в технике используют $j$ (потому что они используют $i$ для тока). Пожалуйста, используйте $I_1$ и $I_2$ или что-то для токов, чтобы избежать массовой путаницы.

Билл Н · Answer 1

Так ведут себя элементы идеальных и невозможных цепей, но это отправная точка для простого анализа: при прерывистых изменениях цепей

1) катушки индуктивности имеют одинаковый ток непосредственно до и после разрыва, но могут иметь скачкообразные изменения напряжения. Затем ток будет изменяться экспоненциально/синусоидально/в обоих случаях.

2) конденсаторы имеют одинаковое напряжение непосредственно до и после разрыва, но могут иметь скачкообразные изменения тока. Затем напряжение на конденсаторе будет изменяться экспоненциально/синусоидально/в обоих случаях.

3) ток и напряжение, связанные с резисторами, могут изменяться прерывисто, следуя $V_R = I_R R$ .

4) Вы должны быть дотошны с соглашениями о знаках в этих отношениях.

В $t=0^-$ , ток через индуктор постоянный, поэтому напряжение на индукторе равно нулю. Это значит $i$ (через резистор) также равно нулю, а напряжение на конденсаторе равно $V(t)$ с крайней правой пластиной при более высоком потенциале, если $V(t)>0$ . В конденсаторе нет тока, потому что он полностью заряжен, поэтому ток не течет через катушку индуктивности.

В $t=0^+$ , напряжение отключено. Технически это можно интерпретировать двумя способами: $V(t)$ заменяется прямым проводом (коротким, что делают ЭЭ, когда убивают источник напряжения) или, $V(t)$ полностью удаляется, и его место занимает размыкание (что было бы похоже на переключатель, включенный последовательно с источником). Поведение будет другим, но начальные условия тока дросселя и напряжения конденсатора одинаковы.

Первоначально ток дросселя будет равен нулю, а напряжение на конденсаторе равно $V(0^-)$ .

шрей · Answer 2

Если цель состоит в том, чтобы определить параметры в устойчивом состоянии, может быть проще подойти к этой ситуации с учетом следующих двух предположений:

В $t=0$ : конденсатор ведет себя как нулевое сопротивление, индуктор как бесконечное сопротивление. $t \rightarrow$ \infty$ : конденсатор ведет себя как бесконечное сопротивление, индуктор как нулевое сопротивление

На основании этого при $t=0$ текущий $i= V/R$ текущий $j=0$ : первая производная от $Q(0)$

В $t \rightarrow \infty$ цепь разрывается так $i=j=0$

Знаете ли вы, что на этом сайте можно использовать форматирование TeX? Я отредактировал ответ, чтобы использовать его. Пожалуйста, нажмите кнопку редактирования, чтобы увидеть, как это работает. Кроме того, я бы посоветовал вам пересмотреть ответ и добавить знаки препинания.

Цепь RLC, отключающая источник напряжения

алкамид

Дэвид З.

Даниэль Санк

Ответы (2)

Билл Н

шрей

Даниэль Санк

Бесконечный набор конденсаторов и катушек индуктивности

Ток в индукторе сразу после замыкания ключа

Катушка индуктивности и конденсатор подключены параллельно

Передаточная функция цепи RLC

Дифференциальное уравнение энергии конденсатора в цепях RC и RL?

Задача с дифференциальным уравнением серии RLC [закрыто]

Усиление как функция частоты (RC-фильтры верхних частот)

Почему постоянная времени RC-цепей рассчитывается именно так?

В свободной цепи RLC с недостаточным демпфированием, когда ток максимален, напряжение на конденсаторе равно нулю?

Замыкание ключа последовательно с конденсатором