Классическая и квантовая энергия атома водорода

Что касается фактора$\frac{1}{2}$: Похоже, что ОП в своих классических рассуждениях учитывал только кулоновскую потенциальную энергию

$$\tag{1}\langle U\rangle ~=~-k_e e^2 \langle \frac{1}{r} \rangle ~=~-\frac{k_e e^2}{a_0} ~<~0.$$

Здесь$k_e$постоянная Кулона и$a_0$есть радиус Бора .$^1$

Однако мы должны также принять кинетическую энергию$\langle T\rangle>0$в учетную запись! Из теоремы вириала мы знаем , что кинетическая энергия

$$\tag{2}\langle T\rangle~=~-\frac{1}{2}\langle U\rangle~>~0$$

минус половина потенциальной энергии$1/r^2$Кулоновская сила.

Следовательно, полная энергия становится половиной кулоновской потенциальной энергии:

$$\tag{3} E ~=~ \langle T\rangle+ \langle U\rangle ~=~-\langle T\rangle ~=~\frac{1}{2}\langle U\rangle~<~0,$$

что является (с точностью до знаков) энергией Ридберга .

--

$^1$Здесь оценке OP помогает тот факт, что ожидаемое значение

$$\tag{4}\langle\frac{1}{r}\rangle ~=~\frac{1}{a_0}$$

в основном состоянии оказывается обратным радиусом Бора без какого-либо нетривиального безразмерного числа, появляющегося в уравнении. (4)! [Обратите внимание, что, например,$\langle r\rangle =\frac{3}{2}a_0$.]