Классические корреляции в двудольном запутанном смешанном состоянии

Question

Классические корреляции в двудольном запутанном смешанном состоянии

Ярослав Шустров

Недавно я задал несколько связанный вопрос и получил очень поучительный ответ. Однако после некоторого размышления я понял, что (по крайней мере) еще один момент мне неясен:

Как мы можем проверить, имеет ли данное двудольное запутанное смешанное состояние классические корреляции между его подсистемами?

Это то, что я знаю о предмете на данный момент. Предположим, нам дано некоторое смешанное состояние:

р "=" \sum_{я} п_{я} | ψ_{я} ⟩ ⟨ ψ_{я} |

$\rho = \sum_{i} p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ здесь

{p_{i}}

$\{p_i \}$ определяет вероятностную смесь чистых состояний

{| ψ_{i} ⟩}

$\{|\psi_i\rangle \}$ . Это состояние может быть одним из трех:

просто отделяемый (состояние продукта) $\rho = \rho_A \otimes \rho_B$ . В этом случае между подсистемами нет корреляций (как классических, так и квантовых).
сепарабельное государство $р "=" \sum_{к} п_{к} р_{А}^{к} \otimes р_{Б}^{к} \sum_{к} п_{к} "=" 1 (1)$ $\rho = \sum_k p_k \rho_A ^k \otimes \rho_B ^k \quad \sum_k p_k =1 \quad (1)$ Во-первых, это состояние по определению не имеет квантовых корреляций между подсистемами A и B. Во-вторых, это состояние может быть получено из состояния произведения с помощью LOCC . Это означает, что данное состояние имеет классические соотношения между подсистемами.
Запутанное состояние В этом случае данное состояние не может быть записано в виде (1). Это, очевидно, будет иметь квантовые корреляции между подсистемами. Но что мы можем сказать о классических соотношениях между частями А и В? Мое предположение состояло бы в том, чтобы проверить, может ли это состояние быть построено из состояния продукта только комбинацией обоих нелокальных операторов. $U_A \otimes U_B$ и ЛОКК . Если LOCC необходим, то в нашем состоянии существуют классические соотношения между подсистемами. Однако этот критерий (если он вообще верен) представляется почти невозможным для применения в реальной ситуации. Есть ли другой способ решить вопрос?

Эмилио Писанти

Я не хочу слишком сильно возиться с вашим форматированием, но я бы настоятельно не рекомендовал вам использовать MathJax для выделения. Если это просто текст, который вы хотите выделить, он не принадлежит блоку MathJax. Вместо этого используйте курсив или жирный шрифт по мере необходимости.

Эмилио Писанти

Что касается вопроса: что именно вы подразумеваете под «классическими соотношениями»? Вы просто имеете в виду «состояние, которое отделимо, но не просто отделимо»?

Ярослав Шустров

Это пример, который я имел в виду. Предположим, мы начинаем с

ρ = ρ_{A} \otimes ρ_{B}

$\rho = \rho_A \otimes \rho_B$ . Тогда воздействуем на него как LOCC, так и нелокальными операторами

U_{A} \otimes U_{B}

$U_A \otimes U_B$ получить запутанное состояние. Разве бессмысленно говорить, что полученное двудольное состояние имеет в себе как классические, так и квантовые корреляции? Можем ли мы сказать, что LOCC можно (?) каким-то образом моделировать этими нелокальными операторами? В последнем случае это различие в происхождении корреляций действительно будет бессмысленным.

Эмилио Писанти

Вы не сказали, как вы хотите количественно определять корреляции, поэтому я не думаю, что имеет смысл говорить об отделении классических корреляций от квантовых. Два примера, о которых следует помнить:

Эмилио Писанти

(1) У Алисы и Боба по два кубита. Они выполняют совместную унитарную операцию над кубитами A1 и B1 и переводят их в максимально запутанное состояние, а также используют LOCC для перевода кубитов A2 и B2 в состояние с максимальными классическими корреляциями.

ρ = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 11 ⟩ ⟨ 11 |)

$\rho = \frac12 (|00⟩⟨00| + |11⟩⟨11|)$ ; внутри каждой стороны кубиты 1 и 2 описываются общим состоянием, но в остальном они остаются отдельными. Как можно количественно оценить корреляции в этом состоянии?

Эмилио Писанти

(2) Алиса и Боб имеют по одному кубиту; они используют объединенный унитар, чтобы перевести их в максимально запутанное состояние

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$|\psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩ + |11⟩)$ , а затем каждый из них применяет локальный квантовый канал дефазировки так, что

Λ (| 0 ⟩ ⟨ 0 |) = | 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\Lambda (|0⟩⟨0|) = |0⟩⟨0|$ ,

Λ (| 1 ⟩ ⟨ 1 |) = | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\Lambda (|1⟩⟨1|) = |1⟩⟨1|$ ,

Λ (| 0 ⟩ ⟨ 1 |) = Λ (| 1 ⟩ ⟨ 0 |) = 0

$\Lambda (|0⟩⟨1|) = \Lambda (|1⟩⟨0|) = 0$ , который сводит глобальное состояние к максимально классически коррелированному состоянию

ρ = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 11 ⟩ ⟨ 11 |)

$\rho = \frac12(|00⟩⟨00| + |11⟩⟨11|)$ . Должны ли корреляции каким-то образом считаться «квантовыми»? Что, если расфазировка только частичная (т.

Λ (| 0 ⟩ ⟨ 1 |) = r | 0 ⟩ ⟨ 1 |

$\Lambda (|0⟩⟨1|) =r|0⟩⟨1|$ ,

0 < r < 1

$0<r<1$ )?

ГЛС

это похоже на вопрос, на который следует ответить с помощью ресурсной теории запутанности, в которой операции LOCC рассматриваются как свободные ресурсы. См., например, главу IV на arxiv.org/abs/1806.06107 . Я недостаточно разбираюсь в этой теме, чтобы дать содержательный ответ

Ярослав Шустров

Проанализировав вышеприведенные примеры, я пришел к следующему выводу. Если данное двудольное состояние не может быть создано только с помощью LOCC, то говорят, что это состояние имеет квантовые корреляции (неразделимые - запутанные смешанные состояния, запутанные чистые состояния). Если данное состояние может (неважно, было ли оно фактически создано другим способом) быть создано с использованием только LOCC, то мы говорим, что это состояние имеет классические корреляции (отделимые смешанные состояния, чистые состояния прямого произведения). Будет ли это верной классификацией?

Ярослав Шустров

Однако я нашел некоторые статьи, которые (как мне кажется) утверждают, что можно каким-то образом разделить полные корреляции в данном двудольном состоянии на квантовую и классическую части. Это пример такой статьи arxiv.org/abs/1105.2993 . Не могли бы вы сказать мне, пожалуйста, я что-то неправильно понимаю?

Ярослав Шустров

В одном из моих предыдущих комментариев была опечатка. Очевидно, что чистые состояния прямого произведения не имеют классических корреляций. У них вообще нет корреляций между подсистемами.

Ответы (1)

Классические корреляции в двудольном запутанном смешанном состоянии

Я не хочу слишком сильно возиться с вашим форматированием, но я бы настоятельно не рекомендовал вам использовать MathJax для выделения. Если это просто текст, который вы хотите выделить, он не принадлежит блоку MathJax. Вместо этого используйте курсив или жирный шрифт по мере необходимости.
Что касается вопроса: что именно вы подразумеваете под «классическими соотношениями»? Вы просто имеете в виду «состояние, которое отделимо, но не просто отделимо»?
Это пример, который я имел в виду. Предположим, мы начинаем с $\rho = \rho_A \otimes \rho_B$ . Тогда воздействуем на него как LOCC, так и нелокальными операторами $U_A \otimes U_B$ получить запутанное состояние. Разве бессмысленно говорить, что полученное двудольное состояние имеет в себе как классические, так и квантовые корреляции? Можем ли мы сказать, что LOCC можно (?) каким-то образом моделировать этими нелокальными операторами? В последнем случае это различие в происхождении корреляций действительно будет бессмысленным.
Вы не сказали, как вы хотите количественно определять корреляции, поэтому я не думаю, что имеет смысл говорить об отделении классических корреляций от квантовых. Два примера, о которых следует помнить:
(1) У Алисы и Боба по два кубита. Они выполняют совместную унитарную операцию над кубитами A1 и B1 и переводят их в максимально запутанное состояние, а также используют LOCC для перевода кубитов A2 и B2 в состояние с максимальными классическими корреляциями. $\rho = \frac12 (|00⟩⟨00| + |11⟩⟨11|)$ ; внутри каждой стороны кубиты 1 и 2 описываются общим состоянием, но в остальном они остаются отдельными. Как можно количественно оценить корреляции в этом состоянии?
(2) Алиса и Боб имеют по одному кубиту; они используют объединенный унитар, чтобы перевести их в максимально запутанное состояние $|\psi⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩ + |11⟩)$ , а затем каждый из них применяет локальный квантовый канал дефазировки так, что $\Lambda (|0⟩⟨0|) = |0⟩⟨0|$ , $\Lambda (|1⟩⟨1|) = |1⟩⟨1|$ , $\Lambda (|0⟩⟨1|) = \Lambda (|1⟩⟨0|) = 0$ , который сводит глобальное состояние к максимально классически коррелированному состоянию $\rho = \frac12(|00⟩⟨00| + |11⟩⟨11|)$ . Должны ли корреляции каким-то образом считаться «квантовыми»? Что, если расфазировка только частичная (т. $\Lambda (|0⟩⟨1|) =r|0⟩⟨1|$ , $0<r<1$ )?
это похоже на вопрос, на который следует ответить с помощью ресурсной теории запутанности, в которой операции LOCC рассматриваются как свободные ресурсы. См., например, главу IV на arxiv.org/abs/1806.06107 . Я недостаточно разбираюсь в этой теме, чтобы дать содержательный ответ
Проанализировав вышеприведенные примеры, я пришел к следующему выводу. Если данное двудольное состояние не может быть создано только с помощью LOCC, то говорят, что это состояние имеет квантовые корреляции (неразделимые - запутанные смешанные состояния, запутанные чистые состояния). Если данное состояние может (неважно, было ли оно фактически создано другим способом) быть создано с использованием только LOCC, то мы говорим, что это состояние имеет классические корреляции (отделимые смешанные состояния, чистые состояния прямого произведения). Будет ли это верной классификацией?
Однако я нашел некоторые статьи, которые (как мне кажется) утверждают, что можно каким-то образом разделить полные корреляции в данном двудольном состоянии на квантовую и классическую части. Это пример такой статьи arxiv.org/abs/1105.2993 . Не могли бы вы сказать мне, пожалуйста, я что-то неправильно понимаю?
В одном из моих предыдущих комментариев была опечатка. Очевидно, что чистые состояния прямого произведения не имеют классических корреляций. У них вообще нет корреляций между подсистемами.

пользователь1936752 · Answer 1

Отнеситесь к моему ответу с долей скептицизма - я действительно не знаю, работает ли это (думаю, мы узнаем это с помощью положительных и отрицательных голосов).

Представляется, что количество $L(\rho) = \inf_{CSS}S(\rho || CSS)$ может быть полезно, где $CSS$ является ближайшим сепарабельным состоянием и $S$ относительная энтропия. Это числовая задача, но это задача выпуклой оптимизации, поэтому ее можно решить с помощью стандартных решателей.

Состояние CSS, которое вы обнаружите с помощью такой процедуры оптимизации, может быть диагонализировано, и его диагональные записи должны охватывать все возможные классические корреляции. $L(\rho)$ представляет собой чисто квантовые корреляции.

Классические корреляции в двудольном запутанном смешанном состоянии

Ярослав Шустров

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Ярослав Шустров

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

ГЛС

Ярослав Шустров

Ярослав Шустров

Ярослав Шустров

Ответы (1)

пользователь1936752

Какое минимальное число сепарабельных чистых состояний необходимо для разложения произвольных сепарабельных состояний?

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Какая интуиция стоит за изоморфизмом Чоя-Ямиолковского?

Доказательство того, что вы не можете распутать две стороны, если вы работаете только с одной

Можно ли вообще при заданных матрицах плотности подсистем восстановить матрицу плотности всей системы?

Запутанность состояний Вернера

Почему в определении состояния GHZ рассматривается только случай M>2M>2M>2?

Квантовая книга для студентов, посвященная операторам плотности, смешанным состояниям и запутанности [дубликат]

Можно ли нетривиально расширить однокубитное состояние до нечистого состояния?

Означает ли корреляция результатов измерения, что состояние запутано?