Какая интуиция стоит за изоморфизмом Чоя-Ямиолковского?

интуиция

Рассмотрим канал$\mathcal E$, который мы хотим применить к состоянию$\rho$. (С тем же успехом это может быть частью более крупной системы.) Теперь рассмотрим следующий протокол применения$\mathcal E$к$\rho$:

1. Обозначим систему$\rho$по$A$. Добавить максимально запутанное состояние$|\omega\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{D}}\sum_{i=1}^D|i,i\rangle$одной размерности между системами$B$а также$C$:

   

2. Теперь проектные системы$A$а также$B$на$|\omega\rangle$:

   

   [Это можно понимать как телепортацию, при которой мы учитываем только «хороший» результат, т. е. когда нам не нужно делать (обобщенную) поправку Паули на$C$, см. также обсуждение.]
   Наша интуиция по телепортации (или простой расчет) подсказывает нам, что теперь у нас есть состояние$\rho$в системе$C$:

   

3. Теперь мы можем применить канал$\mathcal E$к$C$, приводя к желаемому состоянию$\mathcal E(\rho)$в системе$C'$:

   

Однако шаги 2 и 3 коммутируют (2 действует на$A$а также$B$, и 3 действия на$C$), поэтому мы можем поменять порядок и заменить 2+3 на 4+5:

4. Подать заявление$\mathcal E$к$C$, что является правой частью$|\omega\rangle$:

   

   Это приводит к состоянию$\eta=(\mathbb I\otimes \mathcal E) (|\omega\rangle\langle\omega|)$, что есть не что иное, как состояние Чой$\mathcal E$:

   

   (Это исходный шаг 3.)

5. Теперь мы можем выполнить исходный шаг 3: Project$A$а также$B$на$|\omega\rangle$:

   

   При этом получаем$\mathcal E(\rho)$в$C'$:

   

Шаги 4 и 5 — это в точности изоморфизм Чоя-Ямиолковского:

• Шаг 4 говорит нам, как получить состояние Choi$\eta$для канала$\mathcal E$
• Шаг 5 говорит нам, как мы можем построить канал из состояния

Проходя через математику, легко получается выражение для получения$\mathcal E$из$\mathcal \eta$указано в вопросе:

$$\begin{align*} \mathcal E(\rho) &= \langle \omega|_{AB}\rho_A\otimes \eta_{BC}|\omega\rangle_{AB}\\ & \propto \sum_{i,j} \langle i|\rho_A|j\rangle_{A} \langle i|_B\eta_{BC} |j\rangle_B \\ & = \mathrm{tr}_B[(\rho_B^T\otimes \mathbb I_C) \eta_{BC}]\ . \end{align*}$$

Обсуждение

Описанная выше интуиция тесно связана с квантовыми вычислениями на основе телепортации и квантовыми вычислениями на основе измерений. В вычислениях на основе телепортации мы сначала подготавливаем состояние Choi.$\eta$ворот$\mathcal E$заранее, а впоследствии «телепортироваться через$\eta$", как на шаге 5. Разница в том, что мы не можем выполнить постселекцию результата измерения, поэтому мы должны учитывать все результаты. Это зависит от результата$k$, мы реализовали (для кубитов) канал$\mathcal E(\sigma_k \cdot \sigma_k)$, куда$\sigma_k$является матрицей Паули и, вообще говоря,$\mathcal E$является унитарным. Если мы тщательно выбираем наши вентили, они имеют «хорошие» коммутационные соотношения с матрицами Паули, и мы можем учитывать это в ходе вычислений, как и в вычислениях, основанных на измерениях. На самом деле вычисления на основе измерений можно понимать как способ выполнения вычислений на основе телепортации таким образом, что на каждом этапе допускаются только два результата телепортации, и, таким образом, может произойти только одна поправка Паули.

Приложения

Короче говоря, изоморфизм Чоя-Ямиолковского позволяет отображать многие утверждения о состояниях в утверждения о каналах и наоборот. Например, канал является полностью положительным, если состояние Choi положительно, канал разрушает запутанность, если состояние Choi сепарабельно, и так далее. Ясно, что изоморфизм очень прямолинеен, и, таким образом, любое доказательство можно с одинаковым успехом перенести с каналов на состояния и наоборот; однако часто гораздо удобнее работать с одним или другим, а потом передавать результаты.

Вот как я это понял, и, возможно, вы найдете это полезным:

Предположим, у вас есть карта (канал)$\Phi$который действует на систему$A$. Если$A$существует в штате$\rho$мы можем написать,

$$\Phi(\rho) = \Phi(\rho_{ij}|i\rangle\langle j|) = \rho_{ij}\Phi(|i\rangle\langle j|)$$

Где следует последний шаг выше, потому что квантовая механика является линейной теорией. Это означает, что зная матрицы$\Phi(|i\rangle\langle j|)$для каждого$i$а также$j$помогает нам определить действие карты на любой общей матрице плотности и, таким образом, помогает нам определить саму карту.

Примечание:$\Phi(|i\rangle\langle j|)$выше является физически бессмысленной величиной, поскольку$|i\rangle\langle j|$в общем случае не является действительной матрицей плотности. Пока пусть это будет просто одна из матриц, представляющих карту.$\Phi$и что это может означать физически, мы увидим позже.

Теперь предположим, что у вас есть две системы той же размерности, что и$A$. У вас есть$A \otimes B$который был подготовлен в состоянии Choi, данном$|\Psi\rangle = \Sigma_i |i_Ai_B\rangle$. Рассмотрим действие карты$\Phi \otimes I$(что является допустимой картой преобразования) в этой двудольной системе.

$$\Phi \otimes I(\Sigma_{ij}|i_Ai_B\rangle\langle j_Aj_B|) = \Sigma_{ij}\Phi(|i_A\rangle\langle j_A|)|i_B\rangle\langle j_B|$$

И предположим, что вы в состоянии физически выполнить измерение$\langle i_B|\sigma |j_B\rangle$в приведенном выше состоянии вы получаете$\Phi(|i\rangle\langle j|)$сам.

Таким образом, все о$\Phi$кодируется в состоянии$\Phi \otimes I(|\text{Choi_state}\rangle)$наоборот.