Нахождение векторного потенциала бесконечного цилиндра с однородным поверхностным током

Это вторая часть задачи из «Введения в электродинамику, 4-е издание» Гриффита (задача 6.16).

Первая часть заключалась в том, чтобы найти магнитное поле внутри коаксиального кабеля (две концентрические цилиндрические оболочки с радиусами$a$и$b$,$b>a$, а с линейно намагничиваемой средой$X_{m}$между ними). Я смог сделать это, используя закон Ампера для$\textbf{H}$.

Вторая часть состоит в том, чтобы проверить это решение, найдя связанные токи из их определений (с точки зрения намагниченности$\textbf{M}$, а затем найти поле, создаваемое этими связанными токами.

я нашел это$\textbf{J}_{b}=0$пока

$$\textbf{K}_{b}=\frac{X_{m}I}{2\pi s}\hat{I}$$ Где $s$- радиус цилиндрической оболочки и $\hat{I}$- это направление тока на этой конкретной оболочке. Тогда задача должна сводиться к нахождению магнитного поля, создаваемого поверхностным током.

Я попытался сделать это, вычислив векторный потенциал$\textbf{A}$каждого цилиндра, а затем по принципу суперпозиции получить общее$\textbf{A}$из которого я получаю получить общее$\textbf{B}$с помощью$\textbf{B}=\nabla\times\textbf{A}$.

Проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что я пытался интегрировать

$$\textbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int\frac{\textbf{K}}{R}da'$$ по всей площади цилиндра я получаю несходящийся интеграл. В цилиндрических координатах $$R=\sqrt{s^{2}+a^{2}-2as*cos(\phi'-\phi)+z^{2}-2zz'+z'^{2}}$$ $$da'=ad\phi'dz'$$ $$\textbf{K}=K\hat{z}$$ с пределами интегрирования: $\phi': (0,2\pi)$, $z': (-\infty,\infty)$.

То, что я сделал, было переписано$R$заполнив квадрат для$z'$и делаем замену$z'-\alpha=\beta tan\theta$, что изменяет пределы интегрирования в$\theta$к$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Но это также сводит подынтегральную функцию к$sec\theta d\theta$и интеграл расходится.

Я сделал ошибку в расчетах? Предполагая, что принцип суперпозиции применим для$\textbf{A}$, то единственный способ получить конечное$\textbf{B}$если сумма бесконечности$\textbf{A}$'s как-то конечно.