Когда мы можем обращаться с квантовым полем так же, как с классическим полем?

Чистый способ уточнить концепцию классического поля, чтобы сформулировать вещи в терминах квантового эффективного действия: учитывая производящую функцию связанных и перенормированных функций Грина,$W(J)$, с

$$e^{W(J)} = \int \mathcal{D}\phi\,e^{-I[\phi]+\int d^dx\,J\phi}$$ квантовое эффективное действие, $\Gamma[\varphi]$, — преобразование Лежандра (если оно существует), $$W(J) = -\Gamma[\varphi]+\int J\varphi, \quad {\rm where}\quad \varphi(J)\equiv \frac{\delta W(J)}{\delta J}.$$ Здесь предполагается, что $\varphi(J)$может быть обращено (по крайней мере, в рамках теории возмущений) в том смысле, что из него можно получить явное выражение для $J(\varphi)$. Итак, мы должны предположить, что $J(\varphi)$существует и является однозначным. Тогда квантовое эффективное действие содержит точную информацию о полной квантовой теории.

Предположим теперь, что$\bar{\varphi}$решает полные квантовые уравнения движения$\Gamma[\varphi]$, то есть:

$$\frac{\delta \Gamma[\varphi]}{\delta \varphi}\Big|_{\varphi=\bar{\varphi}}=0.$$ Затем из приведенного выше преобразования Лежандра следует, что это решение для полного квантового эффективного действия является одноточечной функцией: $$\frac{\delta W(J)}{\delta J}\Big|_{J=0}=\bar{\varphi}.$$ Все было бы непротиворечивым, если бы в нашем исходном интеграле по путям мы вычисляли квантовые флуктуации вокруг полного квантово-скорректированного фона, т. е. если бы мы расширили $\phi=\bar{\varphi}+\tilde{\phi}$и интегрированы по $\tilde{\phi}$в определяющем интеграле по путям $W(J)$. Это нетривиальное требование, но понятно , как это сделать.

Итак, количество$\bar{\varphi}$является точным полем на оболочке, которое минимизирует$\Gamma(\varphi)$и$\varphi$это соответствующее поле вне оболочки, которое появляется в общем действии$\Gamma(\varphi)$. Теперь наступает решающий момент: информация о полной квантовой теории содержится в диаграммах древовидного уровня.$\Gamma(\varphi)$, т. е. в «классических уравнениях движения»$\Gamma(\varphi)$. Кроме того, когда вы вычисляете$\Gamma(\varphi)$в рамках теории возмущений вы обнаружите, что можете преобразовать ее в петлевое расширение (т. е. расширение в$\hbar$, забудьте тут про вильсоновские эффективные действия),

$$\Gamma(\varphi) = \sum_{\ell=0}^{\infty}\Gamma_{\ell}(\varphi),$$ куда $\ell$обозначает порядок цикла. $\ell=0$термин обычно является явно локальным действием и более высокого порядка ( $\ell>0$) члены часто сильно нелокальны (особенно в безмассовых теориях). (Для массивных теорий кажущиеся нелокальными члены могут быть записаны как бесконечная суперпозиция локальных членов, но это невозможно для безмассовых теорий. Именно это последнее разложение делает связь с перенормировкой Вильсона, потому что здесь эта суперпозиция организована в терминах энергетических масштабов, так что все эти понятия очень тесно и тесно связаны.)

Итак, наконец, мы можем ответить на ваш вопрос: когда высшая петля ($\ell>0$) члены в разложении$\Gamma(\varphi)$пренебрежимо малы, полная динамика по существу описывается классическими уравнениями движения$\ell=0$срок,$\Gamma_0(\varphi)$. Именно эту величину обычно отождествляют с динамикой классического поля$\varphi$, и, например, в условиях инфляции$\varphi$(или, в скорлупе$\bar{\varphi}$) будет инфлатоном. В ведущем порядке часто бывает так, что$\Gamma_0(\varphi)$совпадает с голым действием$I(\phi)$(по форме), когда последняя трактуется классически. Вот почему мы можем рассматривать классические поля и их классическую динамику, и это берет свое начало в полной квантовой теории. Однако часто бывает так, что в литературе люди не делают различия между$\Gamma_0(\varphi)$и$I(\phi)$, и это то, что вызывает всю путаницу, которая есть у многих людей. По крайней мере, это мое понимание.

Обращаясь к комментарию @AlQuemist относительно физического ответа, я хотел бы упомянуть концепцию нестабильности среднего поля (где$\bar{\varphi}$из поста @Wakabaloola будет средним полем). В качестве иллюстрации рассмотрим следующее (сложное) действие модели:

$$S = \int \mathrm{d}t\; \left\{\sum_{\alpha=1,2}\left[ \phi_{\alpha}^{*}i\partial_t\phi_{\alpha}^{} - \tfrac{U}{2} \left| \phi_{\alpha}^{}\right|^{4} \right] -J(\phi_{1}^{*} \phi_{2}^{} + \phi_{2}^{*} \phi_{1}^{}) \right\}.$$

Это может, например, описать холодные атомы в двухъямном потенциале с когерентной связью.$J$и контактное взаимодействие$U$. Следуя процедуре, описанной @Wakabaloola, то есть вычисляя

$$\left.\frac{\delta \Gamma[\phi_\alpha, \phi_\alpha^*]}{\delta\phi_\alpha^*}\right|_{\phi_\alpha=\Phi_\alpha,\; \phi_\alpha^*=\Phi_\alpha^*}=0,$$

можно вывести два так называемых уравнения Гросса-Питаевского

$$\begin{align} \begin{split} i\partial_ t \Phi_{1}^{} &= J \Phi_{2}^{} + U \left| \Phi_{1}^{}\right|^{2} \Phi_{1}^{}, \\ i\partial_ t \Phi_{2}^{} &= J \Phi_{1}^{} + U \left| \Phi_{2}^{}\right|^{2} \Phi_{2}^{}, \end{split} \end{align}$$ которые являются «классическими» уравнениями движения в рассмотренном выше смысле ( $\bar{\varphi} \equiv \Phi_\alpha$). Установка комплексных средних полей на $\Phi_{\alpha}^{} = \sqrt[]{N_{\alpha}}e^{i\theta_{\alpha}}$, они эквивалентны

$$\begin{align} \begin{split} \dot{z} &= 2J\,\sqrt[]{1-z^2}\sin{\theta}, \\ \dot{\theta} &= NUz - 2J\frac{z }{\sqrt[]{1-z^2}}\cos{\theta}, \end{split} \end{align}$$ куда $N = N_1+N_2 = \mathrm{const.}, z = (N_1 - N_2)/N, \theta = \theta_2 - \theta_1$. См. также ссылку [1], где приводится аналогия классического нежесткого маятника, описываемого этими двумя уравнениями.

Теперь мы хотим обратиться к вопросу об устойчивости этого среднего поля, ища неподвижные точки этих уравнений. Очевидно, множество неподвижных точек задается формулой$(z^*,\theta^*) = (0, n\pi)$, куда$n$указывает на кратность$\pi$а звездочка означает фиксированную точку ($z$и$\theta$являются реальными). Ограничимся конкретным пунктом$(z^*,\theta^*) = (0, \pi)$[2]. Якобиан двух уравнений, оцененных в этой точке, равен

$$\begin{align} \mathcal{J}(0, \pi) = \begin{pmatrix} 0 & 2J\\ NU - 2J & 0 \end{pmatrix}, \end{align}$$ который имеет собственные значения

$$\begin{align} \lambda = \begin{cases} \pm \, 2Ji\,\sqrt[]{|\Lambda-1|},\quad \Lambda < 1, \\ \pm \,2J\,\sqrt[]{\Lambda-1},\quad \Lambda > 1. \end{cases} \end{align}$$

Мы определили$\Lambda = NU/2J$. За$\Lambda > 1$, собственные значения, очевидно, действительны, что означает, что мы имеем так называемую гиперболическую неподвижную точку. Ключевым моментом является следующее: всякий раз, когда мы находимся вблизи неустойчивой фиксированной точки ($\mathrm{Re}\,\lambda > 0$), известно, что описание среднего поля полностью терпит неудачу. Это можно доказать, например, включив в описание флуктуации, которые именно при этом условии оказываются большими. Подключаясь к сообщению @Wakabaloola, здесь нужно учитывать более высокие взносы в$\hbar$с$l>0$.

То, что мы описали, представляет собой динамическую неустойчивость системы, имеющей классический аналог маятника. Возникающая физическая картина проста: точка$(0, \pi)$похож на тот, где маятник «вверх ногами». Важно отметить, что нелинейность, возникающая в результате взаимодействия, отвечает за существование этой неподвижной точки. Для «маленьких» взаимодействий ($\Lambda < 1$), нелинейность стабилизирует эту точку, и получаются нетривиальные устойчивые колебания, которые достаточно хорошо описываются средним полем. Когда взаимодействие становится больше ($\Lambda > 1$), стабильность нарушается, и становятся актуальными (квантовые) флуктуации. Интуитивно это связано с тем, что в неустойчивом режиме малейшее возмущение может привести к опрокидыванию маятника в произвольном направлении («самопроизвольное нарушение симметрии»). Чтобы иметь возможность предсказать это направление, нужно было бы знать «все» о случайности, проникающей через квантовые флуктуации. Всякий раз, когда преобладают флуктуации, человек находится в «непертурбативном» режиме, когда можно использовать (в лучшем случае) только очень сложные методы повторного суммирования, включающие бесконечное количество диаграмм.

[1] Смерци, А., Фантони, С., Джованацци, С. и Шеной, С.Р., 1997. Квантовое когерентное атомное туннелирование между двумя захваченными конденсатами Бозе-Эйнштейна. Письма о физическом обзоре, 79 (25), стр. 4950.

[2] Варди, А. и Энглин, Дж. Р., 2001. Конденсаты Бозе-Эйнштейна за пределами теории среднего поля: квантовая обратная реакция как декогеренция. Письма о физическом обзоре, 86 (4), стр. 568.