Подсчет степеней свободы в теориях поля

Вы действительно должны разделить свой вопрос. Я отвечу на часть, где вы не понимаете, как работает подсчет степеней свободы.

По сути, мы подсчитываем количество распространяющихся (физических) степеней свободы на точку пространства-времени . Конечно, общее число степеней свободы бесконечно, потому что пространство-время непрерывно и имеет бесконечное число точек, но запросить количество степеней свободы на точку пространства-времени — разумное требование. Имейте в виду, что нас интересуют только физические степени свободы, под которыми мы подразумеваем те, которые можно должным образом нормализовать.

Вы правильно утверждаете, что фотоны могут быть вне оболочки, но они участвуют только во внутренних процессах. Внешние фотоны всегда находятся на оболочке. Более того, калибровочная инвариантность является физическим свойством. Внешние поля, которые вы измеряете в своей лаборатории, не должны зависеть от выбранного вами датчика. Другими словами, S-матрица должна быть калибровочно-инвариантной. С другой стороны, ничто не мешает мне иметь калибровочно-сломанные внутренние процессы, если в конечном счете я смогу сделать S-матрицу калибровочно-инвариантной. Следовательно, слово «физический» почти всегда должно давать вам представление о внешних калибровочно-инвариантных величинах на оболочке.

Так что да, калибровочная избыточность убивает одну степень свободы, а когда мы говорим о распространении физических степеней свободы, еще одна уничтожается на оболочке. Вы должны понимать, как это происходит. Дело не в том, что каждый раз, когда вы видите уравнение движения, какая-то степень свободы уничтожается. Уничтожение степеней свободы требует сложного процесса наложения ограничений на уравнение движения, известного как фиксация калибровки . И это нужно делать в каждом конкретном случае.

Например, рассмотрим четыре уравнения движения (разделенные на временной и пространственный наборы) для безмассового фотона$A^\mu = (\phi, \vec A)$описывая четыре степени свободы на оболочке следующим образом.

$$\begin{align*} -\Delta \phi + \partial_t \vec\nabla\cdot\vec A = 0\,,\\ \square \vec A - \vec\nabla(\partial_t\phi-\vec\nabla\cdot\vec A) = 0\,.\\ \end{align*}$$

Поскольку эти уравнения обладают калибровочной симметрией$A_\mu \to A'_\mu := A_\mu + \partial_\mu \alpha_1(x)$, мы можем попытаться исправить датчик , выбрав$\alpha_1$так что, например, это решение$\square \alpha_1 = -\vec\nabla\cdot\vec A$, давая нам

$$\begin{align*} \Delta \phi' = 0\,, \\ \square \vec A' - \vec\nabla\partial_t\phi' = 0\,. \\ \\ \vec\nabla\cdot\vec{A}'=0\,.\\ \end{align*}$$

Мы выбрали бездивергентное поле, так называемую кулоновскую калибровку. При таком выборе электрический потенциал становится нераспространяющимся, т. е. для него нет кинетических членов в лагранжиане (заметим, что$\Delta \phi' = 0$не имеет производных по времени).

В импульсном пространстве это калибровочное условие читается$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$где$\vec \epsilon$— вектор поляризации (фурье-образ магнитного потенциала). Есть три решения этого ограничения. Выбор кадра, в котором$p^\mu = (E,0,0,E)$, мы находим, что три вектора поляризации равны

$$\epsilon^\mu_1 = (0,1,0,0), \qquad \epsilon_2^\mu=(0,0,1,0), \qquad \epsilon_t^\mu = (1,0,0,0)$$

Третья поляризация подобна времени и поэтому не может быть нормирована. Это нефизично, и мы должны избавиться от него. К счастью, калибровочная симметрия не исчерпывается. Есть более доступные варианты калибровочных преобразований, которые сохраняют кулоновскую калибровку.$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$. Например, мы могли бы перейти от$A'_\mu \to A_\mu:= A'_\mu + \partial_\mu \alpha_2(x)$такой, что$\Delta \alpha_2 = 0,\ \partial_t \alpha_2 = - \phi'$который сохраняет дивергенцию и устанавливает$\phi = 0$.

Обратите внимание, что на этот раз мы должны убедиться, что это калибровочное преобразование происходит на оболочке, а именно, что$\Delta \phi = 0$, иначе эта фиксация калибровки будет несовместимой, потому что$\Delta \alpha_2 = 0 \Rightarrow$ $0 = \Delta \partial_t\alpha_2 = - \Delta\phi' \ne 0$вне оболочки. Другими словами, требуя$\phi = 0$или эквивалентно$\epsilon^0 = 0$, чтобы избавиться от нефизических степеней свободы, требуется, чтобы мы были в оболочке.

Подводя итог, мы сделали выбор манометра вне корпуса.$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$, выбор датчика на корпусе$\epsilon^0 = 0$и наше уравнение движения стало$p^2 = 0$. Исчерпав выбор калибровки, мы находим только две физические моды поляризации или степени свободы.

Теперь вы понимаете, что простое наличие уравнения движения не поглощает степени свободы. Чтобы найти правильное число степеней свободы, продолжайте выбирать калибровку (составляя независимые уравнения ограничений), часть вне оболочки и часть на поверхности, пока не исчерпаете свою свободу калибровки. Затем проверьте, сколько степеней свободы у вас осталось. Если вы заметили, что появляется какой-то нефизический парень, скорее всего, вы не использовали всю свою свободу выбора и у вас все еще достаточно гибкости, чтобы застрелить этого парня. Затем посчитайте все, что у вас осталось. Это твой ответ.

У меня очень ограниченные знания об этом, но я могу попытаться предложить частичный ответ.

4-потенциал$A^\mu$имеет четыре степени свободы (степени свободы), но две из них нефизичны и могут быть устранены, используя инвариантность электромагнетизма относительно калибровочных преобразований.$A^\mu \rightarrow {A^\prime}^\mu = A^\mu + \partial^{\,\mu} f$. Например, мы можем взять$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$пока$f$удовлетворяет$\square\,f=-\partial_\mu A^\mu$:

${A^\prime}^\mu = A^\mu + \partial^{\,\mu} f \Longrightarrow \partial_\mu{A^\prime}^\mu \equiv 0 = \partial_\mu A^\mu + \square\,f \Longrightarrow \square\,f = -\partial_\mu A^\mu$

Состояние$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$, известная как калибровка Лоренца, дает вам одно уравнение, связывающее$A_0, A_1, A_2$и$A_3$, поэтому он удаляет одну из четырех степеней свободы

Последняя нефизическая степень свободы удалена, потому что остается некоторая свобода калибровки, которую нужно исследовать. Для обеспечения$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$все, что нам нужно сделать, это использовать функцию$f$удовлетворяющий$\square\,f = -\partial_\mu A^\mu$. понятно любая функция$f_0$удовлетворяющий$\square\,f_0\equiv 0$можно добавить к$f$сохраняя$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$нетронутый. Эта последняя свобода удаляет еще одну степень свободы, поскольку мы можем взять${A^{\prime\prime}}^\mu = {A^\prime}^\mu + \partial^{\,\mu} f_0$и выбрать подходящее решение$\square\,f_0\equiv 0$.

Последний абзац лучше всего понять на примере. В свободном пространстве с помощью манометра Лоренца$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$, 4-потенциал удовлетворяет$\square\, {A^\prime}^\mu = 0$. Рассмотрим решение для плоской волны, распространяющейся вдоль$z$ось:${A^\prime}^\mu = \mathcal{A}\, \varepsilon^\mu \cos(kz-\omega t)$, где$\mathcal{A}$амплитуда волны,$\omega=|k|$(я использую натуральные единицы, где$c\equiv 1$), и$\varepsilon^\mu$— вектор поляризации. Вы можете проверить состояние датчика$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$выполняется для вектора поляризации$\varepsilon^\mu$выбран как$\varepsilon^\mu_{(x)} = (0,1,0,0)$или$\varepsilon^\mu_{(y)} = (0,0,1,0)$, или их комбинация. Они соответствуют двум физическим степеням свободы, связанным с горизонтальной и вертикальной поляризациями.

В этом примере две нефизические степени свободы связаны с векторами поляризации$\varepsilon^\mu_{(t)} = (1,0,0,0)$и$\varepsilon^\mu_{(z)} = (0,0,0,1)$, соответствующие «временной» и продольной поляризациям соответственно. Хотя${A^\prime}^\mu$с$\varepsilon^\mu = \varepsilon^\mu_{(t)}$или$\varepsilon^\mu = \varepsilon^\mu_{(z)}$удовлетворяет уравнению движения$\square\,{A^\prime}^\mu=0$, это не будет удовлетворять калибровке Лоренца$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$. Тем не менее, если вектор поляризации взять как комбинацию$\varepsilon^\mu = c_1 \varepsilon^\mu_{(t)} + c_2 \varepsilon^\mu_{(z)}$, для констант$c_1$и$c_2$, калибровка Лоренца удовлетворяется, как только мы накладываем$c_1 = c_2$. Из-за этого у нас осталась только одна нефизическая степень свободы. Наконец, выбрав$f_0$(из предыдущих абзацев) как$\mathcal{A}\,\frac{c_1}{\omega}\sin(kz-\omega t)$, вы можете проверить решение${A^{\prime\prime}}^\mu = \mathcal{A}\,c_1(\varepsilon^\mu_{(t)}+\varepsilon^\mu_{(z)})\cos(kz-\omega t) + \partial^{\,\mu} f_o$тождественно исчезает, что означает, что последняя нефизическая степень свободы действительно не распространяется.

Именно это имеется в виду под степенями свободы электромагнитного поля: плоские волновые решения имеют две возможные поляризации (или их комбинации), обе пространственные и поперечные направлению распространения. Во второй квантованной теории это означает, что спин фотонов один ($s=1$) имеет только две возможные ориентации относительно своего движения: параллельная ($m_s=+1$, положительная спиральность) или антипараллельно ($m_s=-1$, отрицательная спиральность). Обратите внимание, что это имеет совсем другое значение по сравнению с утверждением «теории поля имеют бесконечную степень свободы», которое связано с описанием бесконечного числа точек в пространстве-времени (в отличие от конечного числа в механике частиц).

Единственный имеющийся подсчет степеней свободы производится в гамильтоновом анализе, т. е. начинают с действительного лагранжиана (плотность) и вычисляют гамильтониан (плотность). Если ограничения найдены (например, поля Янга-Миллса для калибровочной группы SU(N)), то общая формула просто возвращает чистое число полей (которое можно рассматривать как параметризацию редуцированного фазового пространства при дираковской скобка).

Пример : Калибровочное поле U(1) [классический электромагнетизм]. Количество лагранжевых полей (DOF) =$4 \times \infty$. Гамильтонов анализ возвращает 2 ограничения (одно первичное, одно вторичное, оба 1-го класса), поэтому истинное число степеней свободы калибровочного поля U(1) равно$2\times\infty$.

Вкратце: фотонное поле «удобно» вводится как четырехвекторное поле, а именно оно имеет четыре степени свободы в каждой точке пространства (то есть бесконечное число, но всего две, если вы смотрите только на одну точку). У реального поля один, у сложного один два.. (на точку пространства). Слово «удобно» связано с проблемой калибровочной свободы: разные поля фотонов могут описывать одну и ту же физическую ситуацию.

Свобода калибровки = ваша теория избыточна (исправление калибровки = исправление этой избыточности).

Используя классическую калибровочную свободу (а не уравнения движения), которую вы знаете с базовых курсов, вы можете уменьшить четыре степени свободы фотона до двух (на точку пространства).