Определены ли скалярные поля с точностью до гармонических функций?

Отказ от ответственности: этот вопрос может быть очень глупым. Похоже, я упускаю какой-то фундаментальный момент.

Рассмотрим массивный скаляр$\pi$

$$\mathcal{L}_\pi = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}\pi^2 + g \mathcal{L}_{int}(\pi)\,,\qquad\qquad\qquad Eq.(1)$$ где $g$является муфтой и $\mathcal{L}_{int}$включает непроизводные взаимодействия. Поле $\pi$удовлетворяет обычному уравнению Клейна-Гордона $(\square - m^2) \pi=-g\mathcal{L}'_{int}$где потенциал выступает в качестве источника.

Мой вопрос : разрешено ли нам выполнять переопределение поля$\pi(x) \rightarrow \pi(x) + f(x)$где$f(x)$является точной гармонической функцией (т.е.$\square f(x)=0)$?

Я сбит с толку, потому что, если мы отключим взаимодействие, установив$g=0$, поле$f(x)$ведет себя как вспомогательное поле. Действительно, лагранжиан становится

$$\mathcal{L}_{\pi+f} = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}(\pi(x)+f(x))^2\,,\qquad\qquad\qquad Eq.(2)$$

и уравнения движения для$f(x)$подразумевает ограничение

$$f(x) = -\pi(x).$$

Теперь ясно, что здесь происходит что-то неладное. Это не может быть правильным. Я начал с распространяющегося свободного массивного скаляра и, выполнив ( сомнительное ) переопределение поля, я сместил полюс пропагатора на$m^2=0$.

РЕДАКТИРОВАТЬ v1

После первого ответа я хочу подчеркнуть следующие моменты.

• Если предположить, что предложенное мною переопределение поля имеет смысл, я должен обнаружить, что две теории (1) и (2) эквивалентны. Намек на такую ​​эквивалентность дает, например, положение полюсов корреляционных функций, вычисляемых в рамках двух теорий. Если полюса найдены с разными массами, то теории наверняка распространяют разные степени свободы.
• Если кто-то попросит вас работать со следующей функцией разделения $$Z[J_\pi,J_f] = \int \mathcal{D}\pi \mathcal{D}f e^{iS_{\pi+f} + i \int d^d x J_\pi f(x) + i \int d^d x J_f f(x) }$$ нет никакого способа установить это$\pi$и$f$являются зависимыми полями, если только вы не вычислите уравнение движения для обоих полей . Обратите внимание, что нет способа сказать, что$f(x)$является гармоническим полем . Уравнения движения (в пределе$g=0$)

$$\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial \pi} -\partial_\mu\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial\partial_\mu \pi} = 0 \rightarrow \square\pi = m^2(\pi + f)\,,\qquad \qquad Eq.(3)$$

$$\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial f} -\partial_\mu\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial\partial_\mu f} = 0 \rightarrow f=-\pi\,,\qquad \qquad Eq.(4)$$ и вы видите, что, комбинируя уравнение (3) и уравнение (4), вы получаете

$$\square \pi = 0\qquad\rightarrow\qquad \square f = 0$$

• Деликатный момент может заключаться в том, что$f(x)$преобразуется в поле с ограничениями, и интегрирование в интеграл по путям должно выполняться в пространстве поля с ограничениями. Такая информация должна быть помещена в лагранжиан с использованием множителя Лагранжа.$\lambda(x)$. Например, если я добавлю к уравнению (2) «фиксирующий член датчика» $$\mathcal{L}_{\pi+f} = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}(\pi(x)+f(x))^2 +\lambda(x) \square f(x)\,,\qquad\qquad Eq.(5)$$ тогда множитель Лагранжа имеет вид$\square \lambda(x) = m^2(\pi(x) + f(x))$что, подставленное обратно в уравнение (5), снимает зависимость от$f(x)$и мы восстанавливаем исходный лагранжиан. Это решение?