Коллапс волновой функции и общая волновая функция

Не все операторы преобразуют кет в суперпозицию кетов: например

$$\hat \Pi=\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$ действующий на государство$\vert \Psi\rangle$будет производить$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\Psi\rangle$, который не является ни нормализованным кетом, ни линейной комбинацией кетов.

Оператор вроде$\hat \Pi$является оператором проектирования и является идемпотентным, т.е.$\hat\Pi\hat \Pi=\hat \Pi$; проекционные операторы служат базовыми прототипами операторов измерения.

У вас тут недоразумение. Действие наблюдаемого оператора, такого как$x$или$p= -i\frac{\partial}{\partial x}$не переводит волновую функцию в коллапсированное состояние. Оператор, который это делает, является проектором, например:

$$|x=1\rangle \langle x=1|$$

или

$$|x=-12.531\rangle \langle x=-12.531|$$

или

$$|p=0\rangle \langle p=0|$$

Какой проектор вы применяете, зависит от результата измерения и того, что вы измеряете. Приведенные выше относятся к результатам$x=1$,$x=-12.531$, и$p=0$, соответственно (я не упомянул единицы, так как они не важны).

Если вы хотите вычислить эти проекторы: они являются внешними произведениями собственных векторов соответствующих операторов. Например,

$$\hat{x}|x=-12.531\rangle = -12.531 |x=-12.531\rangle$$

Приведенные выше проекторы не оставят вас с суперпозицией (по крайней мере, не в базисе x, x и p соответственно). В общем, то, находится ли вектор в суперпозиции, зависит от базиса, в котором вы его выражаете.