Коллапс волновой функции в эксперименте Штерна-Герлаха

Ваше основное заблуждение здесь:

Действие$\hat{S}_z$оператор коллапсирует волновое состояние к$|\mathrm{SZ+}\rangle$или$|\mathrm{SZ-}\rangle$

Это неправильно. Измерение наблюдаемого$S_z$приведет к коллапсу волновой функции в одно из ее собственных состояний, но это измерение не моделируется действием оператора$\hat{S}_z$на волновой функции. Вместо этого, если вы хотите смоделировать коллапс, вы используете один из двух операторов эрмитовой проекции.

$$\begin{align} \hat{\Pi}_{z,+} & = |\mathrm{SZ+}\rangle \langle \mathrm{SZ+}|, \\ \hat{\Pi}_{z,-} & = |\mathrm{SZ-}\rangle \langle \mathrm{SZ-}| \end{align}$$ (в неоптимальных обозначениях, использованных в версии 2 вашего ответа, как наиболее чистом представлении вашего исходного текста, которое я мог сделать; для ясности здесь$\hat{S}_z |\mathrm{SZ\pm}\rangle = \pm \frac12 \hbar |\mathrm{SZ\pm}\rangle$.) Если результат измерения$S_z = +\frac12\hbar$, проективное измерение является заменой$|\psi \rangle \mapsto \hat{\Pi}_{z,+} |\psi⟩$(с подходящей константой нормировки) и аналогично для$S_z = -\frac12\hbar$.

Ваше наблюдение, что

$$\hat{S}_z |\mathrm{SX+}\rangle = \frac12 \hbar |\mathrm{SX-}\rangle$$ правильно, но никоим образом не противоречит и не противоречит каким-либо другим частям формализма.

Как указано в другом месте , не все операторы преобразуют состояние в линейную комбинацию собственных состояний. Вместо$\sigma_z$рассмотрим оператор$\hat \Pi_{+,z}=\vert {+}\rangle_z {_z\langle} {+}\vert$. Это изменит$\vert {+}\rangle_x$собственное состояние к

$$\vert {+}\rangle_z {_z\langle} {+}\vert {+}\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\vert {+}\rangle_z\, , \tag{1}$$ которое является единственным состоянием, а не линейной комбинацией собственных состояний$\sigma_z$. Действительно$(1)$показывает, как состояние схлопывается до определенного собственного набора.

Обратите внимание, что

$$\Pi_{+,z}=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&0\end{array}\right)$$ по-прежнему является вполне допустимым оператором.