Коммутация операторов углового и линейного количества движения

Они должны иметь нетривиальные коммутационные соотношения, так как все векторные операторы имеют определенные коммутационные соотношения с операторами углового момента из-за того, что они порождают вращения, а векторы преобразуются при вращении определенным образом.

Соотношения можно вывести и непосредственно для импульса:

$$\begin{align*} [p_i, L_j] &= \varepsilon_{jlm}[p_i, x_lp_m] = \varepsilon_{jlm} \big(x_l [p_i, p_m] + [p_i, x_l]p_m \big) = -\varepsilon_{jlm} i\hbar \delta_{il} p_m = i\hbar\varepsilon_{ijm}p_m. \end{align*}$$

Однако термин$[L_x, p_x]$вы вычисляете действительно ноль, так как$\varepsilon_{xxj} = 0$для всех$j$, но$[L_y, p_x]$и$[L_z, p_x]$не.

По общему заявлению

Оператор пространственного вращения вокруг оси$\vec \varphi$на угол, заданный его абсолютным значением в квантовой механике, определяется выражением$U = e^{-\frac i \hbar \vec \varphi \cdot \vec L}$(это соответствует способу$T = e^{-\frac i \hbar \vec a \cdot \vec p}$реализует пространственные переводы состояний). Соответствующая матрица вращения${}^1$ $A = e^{\vec \varphi \times}$и компоненты математических ожиданий векторных операторов$\vec v$во всех состояниях (и, следовательно, компоненты векторных операторов) должны преобразовываться согласно${}^2$:

$$\begin{align*} U \vec v U^\dagger = A\vec v. \end{align*}$$ Операторы $U$и $A$здесь работают по-разному, оператор $A$преобразуется между компонентами вектора, поэтому правая часть читается $A_{ij}v_j$в компонентах, слева оператор $U$является скаляром в том смысле, что $U$действует на каждый компонент $\vec v$самостоятельно, то есть $v_i$преобразуется в некоторую линейную комбинацию компонент $\vec v$.

Теперь смотрим на компонент$i$и используйте формулу${}^3$ $e^{-B}Ae^B = e^{[B, \cdot]}A$чтобы расширить левую часть формулы преобразования и расширить экспоненту в правой части:

$$\begin{align*} U^\dagger v_i U &= \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{\hbar^n n!} [\varphi_m L_m, \cdot]^n v_i = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\vec \varphi \times)^n_{ij} v_j}{n!} = \big(e^{\varphi \times}\vec v \big)_i. \end{align*}$$ Сравнивая коэффициенты (по степеням компонент $\varphi$) слева и справа получаем: $$\begin{align*} (i/\hbar)^n[\varphi_mL_m, \cdot]^n v_i &= (\vec \varphi \times)^n_{ij}v_j. \end{align*}$$ Принимая $n = 1$дает: $$\begin{align*} (i/\hbar)\varphi_m[L_m, v_i] &= \varepsilon_{ikj} \varphi_k v_j & [L_m, v_i] &= -i\hbar \varepsilon_{imj} v_j & [L_m, v_i] &= i\hbar\varepsilon_{mij} v_j \end{align*}$$ (второе уравнение получается путем сравнения коэффициентов, обратите внимание, что $\vec \varphi$можно выбрать произвольно). В качестве упражнения читателю остается показать, что этот коммутатор, полученный из члена первого порядка, удовлетворяет уравнению во всех порядках.

Фактически это обсуждение может быть распространено на тензорные операторы любого порядка, включая скаляры (все скаляры коммутируют с компонентами углового момента, поскольку$U^\dagger s U = s$).

---

${}^1$Это обозначение рассматривает$\vec\varphi \times$как линейный оператор, отображающий вектор$\vec v$к$\vec\varphi \times \vec v$, в компонентах этот линейный оператор задается матрицей$(\vec \varphi \times)_{ij} = \epsilon_{ikj} \varphi_k$.

${}^2$Обычно орбитальный угловой момент выводится, наоборот, путем задания его в терминах поведения преобразования и соответствующей сохраняемой величины в случае вращательной симметрии.

${}^3$Обозначение$[A, \cdot]$обозначает супероператор$[A, \cdot] \colon B \mapsto [A, B]$, это означает$[A, \cdot]^n = \underbrace{[A, [A, \cdots [A, B]\cdots]]}_{\text{$n$ commutators}}$.