Об асимптотике взаимодействующих корреляционных функций

Рассмотрим взаимодействующую КТП (например, в контексте аксиом Вайтмана ). Позволять г 2 ( Икс ) быть двухточечной функцией некоторого поля ф ( Икс ) :

г 2 ( Икс ) "=" ⟨ ф ( Икс ) ф ( 0 ) ⟩

Вопрос : Что известно о поведении г 2 − 1 ( п ) в п → ∞ ? Есть ли какая-то привязка к скорости его роста?

Было бы неплохо иметь некоторую (непертурбативную) теорему для общего спина, но если это невозможно, вы можете предположить, что ф ( Икс ) является скалярным. Любая ссылка также приветствуется.

Некоторые примеры:

Свободное скалярное поле имеет

г 2 − 1 ( п ) "=" п 2 + О ( 1 )
а взаимодействующая в первом порядке по теории возмущений имеет
г 2 − 1 ( п ) "=" с п 2 + О ( бревно ⁡ п 2 )
для некоторых с > 0 . Конечно, в теории возмущений существуют большие логарифмы всех порядков, поэтому этот результат не отражает истинного п → ∞ поведение г 2 ( п ) . В принципе, можно было бы суммировать ведущие журналы для всех порядков, но результат, будучи возмущенным, не то, что я ищу.

Точно так же свободное спинорное поле имеет

г 2 − 1 ( п ) "=" п + О ( 1 )
а взаимодействующая в первом порядке по теории возмущений имеет
г 2 − 1 ( п ) "=" с п + О ( бревно ⁡ п 2 )
как прежде.

Наконец, свободное массивное векторное поле имеет

г 2 − 1 ( п ) "=" О ( 1 )
в то время как претурбативные взаимодействия, как обычно, вводят бревна. Мне кажется естественным ожидать, что в непертурбативном отношении ведущее поведение задается свободной теорией (которая имеет г 2 "=" п 2 ( с − 1 ) для вращения с ), но я хотел бы знать о поведении второстепенных лидеров в неагрессивной обстановке.

Обновление: унитарность

Пользователь Эндрю предположил, что можно использовать оптическую теорему для ограничения скорости убывания двухточечной функции: например, в случае скалярного поля мы имеем

г 2 − 1 ( п 2 ) ≥ п → ∞ с п 2
для некоторой константы с (см. ссылку Андрея в комментариях на источник).

Я не уверен, что это можно считать асимптотическим для г 2 потому что он не зависит от свойств г 2 ( Икс ) (ни ф ( Икс ) ), но это всего лишь следствие С С † "=" 1 . Другими словами, на самом деле мы используем не аксиоматику полей, а физическое требование унитарного С матрица. Насколько я знаю, в АКФТ мало упоминаний об унитарности. Может быть, я слишком многого прошу, но мне кажется, что можно многое сказать о н -точечная функция теории, использующая всего несколько аксиом, а-ля Вайтман.

На самом деле я полагаю, что можно использовать теорему Фруассара для получения более точных оценок убывания двухточечных функций, более строгих, чем оценки одной только оптической теоремы. Но я не исследовал эту альтернативу подробно по тем же причинам, что и выше.

В моем понимании (что может быть неверным) теория, подчиняющаяся аксиомам Вайтмана, «уже перенормирована», т.е. в ней нет понятия «голых пропагаторов», так как же вы определяете собственную энергию в теории Вайтмана? Собственная энергия является «пертурбативным объектом».
@ACuriousMind существуют непертурбативные определения неприводимых (также называемых полностью связанными) корреляционных функций (полученных путем взятия функциональных производных от преобразования Лежандра статистической суммы). На практике неприводимая двухточечная функция является обратной полной двухточечной функции: Π ( п ) "=" г 2 ( п ) − 1 , где г 2 ( Икс ) "=" ⟨ ф ( Икс ) ф ( 0 ) ⟩ . Другими словами, и для ясности: я спрашиваю о поведении двухточечной функции в импульсном пространстве при п → ∞ .
Это может быть полезно. физика.stackexchange.com/questions/274265/…
@ved спасибо, но в этом посте обсуждается распространитель (то есть функция свободной корреляции). Что я хотел бы знать, так это поведение взаимодействующей корреляционной функции.
Условия взаимодействия в основном изменят массовый член пропагатора, и пропагатор будет включать физическую массу для схемы регуляризации на оболочке (или в некотором масштабе для других), поэтому, если вы считаете п → ∞ limit, то поведение распространителя останется прежним.
За награду: я ищу асимптотику двухточечных функций в непертурбативной обстановке. Спасибо!
Не уверен, что это то, что вы имели в виду, но существует непертурбативная оценка, которая следует из унитарности, согласно которой пропагатор не может упасть быстрее, чем 1 / п 2 как п → ∞ (например, см. уравнения 84 и 85 примечаний моего Мэтта Шварца isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic1146665.files/… ). Он показывает это для вращения 0, но я считаю, что этот результат справедлив для обычных вращений.
@Андрей спасибо! Я отредактировал вопрос, чтобы обсудить ваш комментарий.
@Andrew Унитарность падает 1 / п 2 то, что вы цитируете, на самом деле применимо только к корреляционным функциям, которые, как предполагается, исчезают на бесконечности. Есть совершенно здоровые ЦФТ, где ф является первичным оператором с размерностью Δ > 2 где это не так. Чтобы выполнить преобразования Фурье, необходимо выполнить так называемые вычитания, а это подразумевает наличие конечного полинома в пропагаторе поверх убывающего вклада, когда п → ∞ . Просто попробуйте преобразовать Фурье 2pt-функцию поля ф с размером Δ > 2 , и вы видите суть.
хотя, помимо унитарности, см. мой комментарий выше для Эндрю, «требуется» полиномиальная ограниченность, которая исходит из характера умеренного распределения функций Вайтмана. Считается, что теория струн и другие очень своеобразные теории (такие как Галилеон), кажется, нарушают это условие, поскольку в них заложена некоторая степень нелокальности. Что касается вашего последнего комментария по поводу границы Фруассара, то существует множество интересных и хорошо определенных теорий (например, все теории без зазоров, КТП, гравитация и т. д.), в которых она нарушается.
@TwoBs, да, это действительно интересно, а я об этом не подумал. Может быть, вопрос сложнее, чем я думал, и мне следует его немного сузить? В любом случае, вы дали мне пару тем для размышлений, спасибо!

Ответы (1)

Отличный вопрос, ОП! У меня пока нет окончательного ответа, но за неимением лучшего позвольте мне упомянуть, что в книге Делиня П., Каждана Д. и Этингофа П. Квантовые поля и струны асимтотика функций Вайтмана изучается в нескольких случаях. . Возможно, наиболее очевидным из них является раздел 1.6 «Асимптотика функций Вайтмана» (стр. 384), где мы можем прочитать

Вт 2 ( Икс 2 ) ∼ Икс 2 → − ∞ опыт ⁡ [ − м − Икс 2 ]
где Вт 2 является г 2 в ОП и м является наименьшим собственным значением ЧАС . Кажется, они не упоминают, как это обобщается на теории более высоких спинов. Возможно, этого результата достаточно для ваших целей. Пожалуйста, дайте мне знать.

Об асимптотике взаимодействующих корреляционных функций
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v