Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?

(В этом вопросе я говорю только о версии нормального порядка второго квантования, а не о версии CFT.)

Большинство источников (например, Википедия ) очень быстро определяют нормальное упорядочение как «переупорядочение всех лестничных операторов таким образом, чтобы все операторы создания находились слева от всех операторов уничтожения». Это определение крайне расплывчато, и я хочу убедиться, что правильно понимаю его.

Если я правильно понимаю, люди используют фразу «оператор нормального порядка» для обозначения двух неэквивалентных вещей. Иногда они означают «использовать (анти) коммутационные соотношения, чтобы переписать оператор так, чтобы он был нормально упорядоченным (без изменения самого оператора)». При этом (однозначном) определении мы имеем, что нормально упорядоченная форма оператора а а † является а † а + 1 . Мы можем использовать это определение, чтобы придать любому оператору каноническую форму (с точностью до знака в фермионном случае. Мы можем исправить эту неоднозначность знаков, задав канонический порядок гильбертовых пространств с одним участком).

Но иногда глагол «нормальный порядок» используется по-другому, что фактически может изменить оператор. Я считаю, что это определение обычно представляется путем окружения оператора двоеточиями. Если я правильно понимаю, эта процедура определяется как "использование (анти)коммутационных соотношений [ а я , а Дж ] ± "=" [ а я † , а Дж † ] ± "=" 0 переместить все операторы создания слева от всех операторов уничтожения, игнорируя при этом [ а я , а Дж † ] ± "=" дельта я Дж (анти)коммутационное отношение и притворяться, что его RHS равны нулю».

Эта процедура явно кажется немного произвольной и немотивированной. Кроме того, он не кажется полностью четко определенным. Это нормально для произведений лестничных операторов, но проблема в том, что согласно этому определению нормальное упорядочение не распространяется на сложение:

: а † а :   "="   а † а   "="   а а † − 1  
но
: а а † : − 1   "=" а † а − 1.

Поэтому неясно, как определить нормальный порядок для общего оператора, т. е. общей линейной комбинации произведений лестничных операторов. И, конечно, то, является ли оператор нетривиальной суммой произведений лестничных операторов, зависит от того, как вы его запишете; мы можем эквивалентно написать тот же оператор, что и а † а (только одно слагаемое) или как а а † − 1 (несколько слагаемых).

Из этого я заключаю, что (согласно второму определению) «нормальный порядок оператора» на самом деле является злоупотреблением терминологией; мы можем осмысленно упорядочить только определенные конкретные выражения для некоторых операторов. Это верно? Если нет, то как определить нормальный порядок линейной комбинации произведений лестничных операторов?

Обратите внимание, что хотя а † а "=" а а † − 1 , у нас нет : а † а : "=" : а а † − 1 : , потому что двоеточие изменяет порядок операторов в произведении справа, но оставляет их неизменными слева.

Ответы (4)

Аксиоматическое определение нормального порядка можно найти в книге «Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечная размерная алгебра» Т. Мивы, М. Джимбо и Э. Дейта на стр. 44-46. Это лучшее определение, которое я нашел до сих пор, и для произведений бозонных операторов оно выглядит следующим образом. Вызов А множество линейных комбинаций формальных конечных произведений бозонных операторов б я , б я † . Нормальный порядок : а : из а е А — обозначение , определяемое индуктивно свойствами

  1. Линейность,
    : г 1 а 1 + г 2 а 2 : "=" г 1 : а 1 : + г 2 : а 2 : для г 1 , г 2 е С и а 1 , а 2 е А
  2. : 1 : "=" 1 , с 1 тождественный оператор в А
  3. внутри точек все операторы б я , б я † ездить между собой
  4. операторы уничтожения можно вынести из столбцов справа
    : а б я : "=" : а : б я
  5. операторы создания можно вынести из колонок слева
    : б я † а : "=" б я † : а :

Определение для фермионных операторов такое же, с той лишь разницей, что фермионные операторы антикоммутируют между собой (свойство 3). Важно подчеркнуть, что обычно операторы уничтожения — это те операторы, которые уничтожают заданное вакуумное состояние, поэтому нормальное упорядочение зависит от выбора вакуума.

Нормальный порядок — это обозначение, а не функция, действующая на операторы (т. е. супероператор). Это означает, что, тогда как б я б я † и б я † б я + 1 являются одними и теми же операторами согласно каноническим коммутационным соотношениям, они представляются как разные элементы А который представляет собой набор линейных комбинаций строк символов, сгенерированных б я , б я † . В математических терминах нормальный порядок — это функция, определенная на элементах свободной алгебры , порожденная б я , б я † , но не является корректно определенной функцией на CCR-алгебре (алгебре канонических коммутационных отношений). Неверный шаг, приводящий к парадоксальному результату

б я б я † "=" б я † б я + 1 ⇒ : б я б я † : "=" : б я † б я + 1 : "=" : б я † б я : + 1 "=" : б я б я † : + 1 ⇒ 0 "=" 1

на самом деле первое равенство, так как б я б я † ≠ б я † б я + 1 в А . В другом посте было высказано предположение, что нормальный продукт не определен при воздействии на линейные комбинации. Однако это серьезно ограничило бы полезность обычного порядка. Например, обычно берется нормальный порядок бесконечных рядов, таких как экспоненциальные. Определение как функция, действующая на свободной алгебре А на самом деле тот, который используется на практике.

Это хороший пример того, как математическая строгость не должна рассматриваться как неприятность в физическом сообществе, а скорее как важный инструмент, позволяющий избежать недопонимания и путаницы.

  1. Суть в том, что нормальная процедура заказа :   : переводит не операторы в операторы, а символы/функции в операторы. Этот важный момент разрешает различные парадоксы, возникающие из-за злоупотребления языком.

  2. То есть, если а и а * обозначает символы/функции, соответствующие операторам а ^ и а ^ † , соответственно, то нормальный порядок удовлетворяет

    : а а * :   "="   : а * а :   "="   а ^ † а ^ ,
    и так далее.

  3. Для полного объяснения см., например, этот пост Phys.SE и ссылки в нем.

Что вы подразумеваете под «символами/функциями»? Если у вас два оператора а и б , ты не можешь написать : а б : ? может что внутри : ⋯ : не содержат никаких операторов?

В квантовой механике с конечным числом степеней свободы нормальное упорядочение всегда означает применение правил коммутации для перемещения создателей левее аннуляторов, что приводит к уникальному конечному выражению, равному исходному в операторном смысле.

В квантовой теории поля (т. е. в квантовой механике с бесконечным числом степеней свободы) такой путь обычно невозможен, так как приводит к плохо определенным коэффициентам. Поэтому в квантовой теории поля нормальный порядок всегда означает перестановку создателей слева от аннуляторов без учета правил коммутации (т. е. классического выражения). Однако знак меняется при перестановке двух фермионных операторов. Таким образом, плохо определенные в противном случае выражения имеют смысл, по крайней мере, как квадратичные формы. В пространственно-временном измерении > 2 , необходима дальнейшая перенормировка, чтобы превратить выражения в истинные операторы.

Я не думаю, что выражения нормального порядка уникальны, потому что порядок операторов создания и порядок операторов уничтожения по отдельности произвольны, верно?
@tparker - да, но они (анти) коммутируют, поэтому определенный оператор не зависит от оставшейся неоднозначности порядка. Любой порядок приоритета сделает его полностью уникальным.

Я думаю, что мудрый комментарий Сидни Коулмана полезен. (подробнее см. его лекцию 4.5).

Мой парафраз:

«Продукт обычного заказа» — это не то, что вы сначала продаете, а затем «нормализуете» продукт. Это новый тип продукта, в котором вы всегда ставите операторы уничтожения справа от операторов создания. Подобно перекрестному продукту: вы не «скрещиваете» продукт, чтобы получить перекрестный продукт, верно?

Мотивация, по которой мы ввели такой продукт, состоит в том, чтобы избавиться от ненужных (по крайней мере, мы не заботимся о них в терминах КТП) бесконечностей после коммутирующих операторов.

Это не дает ответа на вопрос. Когда у вас будет достаточно репутации, вы сможете комментировать любой пост ; вместо этого предоставьте ответы, которые не требуют разъяснений от спрашивающего . - Из обзора
@Miyase Спасибо за ваш комментарий. Но я думаю, что почти такой же вопрос был задан в книге Коулмана. И позвольте мне быть более ясным. «Продукт на заказ» — это новый тип продукта. Для ясности, возможно, мы можем заменить двоеточие на " * ", что, на мой взгляд, вызывает много неточных последствий: а * а † "=" а † а "=" а † * а . Пока а † а "=" а а † + 1 определяется для обычного продукта, а не для «нормального продукта заказа». Это не та операция, которую можно применить к обеим частям уравнения.
Я хотел сказать, что ваш ответ сам по себе не содержит достаточно подробностей, чтобы быть полезным, поэтому он больше похож на комментарий. Вы должны включить дополнительные элементы, чтобы сделать ваш ответ как можно более самодостаточным.
@Миясе Спасибо. Японял твою точку зрения. Вы правы. Хотя для этого вопроса я думаю, что моего комментария + ответа достаточно для моей точки зрения, мне удастся сделать будущие ответы автономными.
Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v