Преобразование Лоренца, реализуемое неунитарным оператором.

Инвариантность Пуанкаре является фундаментальным требованием релятивистской (квантовой) физики. В частности, если$U_g : {\cal H} \to {\cal H}$представляет (необязательно линейное) действие преобразования Пуанкаре$g$на (нормализованных) векторах$\psi$гильбертова пространства$\cal H$рассматриваемой системы должны сохраняться переходные вероятности :

$$|\langle U_g(\psi) | U_g(\phi) \rangle|^2 = |\langle \psi | \phi \rangle|^2 \quad \forall \psi, \phi \in {\cal H}\:, ||\psi||=||\phi||=1\:. \quad (1)$$ Знаменитая теорема Вигнера устанавливает, что (биективное) отображение $U : {\cal H} \to {\cal H}$проверка (1) обязательно должна быть линейной и унитарной или антилинейной и антиунитарной , в зависимости от физической природы преобразования.

О представлениях группы Пуанкаре$\cal P$, по определению они должны удовлетворять, кроме (1),${\cal P} \ni g \mapsto U_g$с$U_g U_h = U_{g\cdot h}$($^*$) и$U_e = id$, где$\cdot$является групповым продуктом в$\cal P$, как раз ввиду определения группового представления. В принципе каждый$U_g$должно быть унитарным или антиунитарным.

Если$g\in \cal P$принадлежит правильной ортохронной подгруппе${\cal P}_+^\uparrow$, его всегда можно разложить как$g= h\cdot h$где$h$по-прежнему принадлежит к той же подгруппе. Поэтому$U_g= U_{h} U_{h}$, таким образом$U_g$должен быть унитарным (даже если$U_h$антиунитарна, так как композиция пары антиунитарных операторов всегда унитарна).

Мы заключаем, что ортохронная группа Пуанкаре${\cal P}_+^\uparrow$(и, следовательно, ортохронная группа Лоренца$SO(1,3)^\uparrow$) может быть представлен только унитарными операторами в квантовых теориях, когда действие группы находится на состояниях .

Неунитарные представления возникают при отбрасывании последнего требования. Например, имея дело со спинорами Дирака или Вейля.

---

($^*$) На самом деле может иметь место фаза, так как состояния представляются нормированными векторами с точностью до фаз:$U_gU_h = e^{i\alpha(g,h)}U_{g\cdot h}$, однако это не меняет результата дальнейших рассуждений. На самом деле можно доказать, что непрерывные (проективные) унитарные представления${\cal P}_+^\uparrow$не подвержены влиянию таких фаз, по-разному формируют представления группы Галилея, где эти фазы играют решающую роль.