Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Question

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

пользователь163020

Я рассматриваю что-то вроде этого: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A$ . Я чувствую , что мы должны иметь возможность коммутировать производные так: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A = \partial^{\nu}\partial_{\mu}A$ .

Однако, конечно, мы можем записать это как: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A=\partial_{\mu}(g^{\nu \rho}\partial_{\rho}A)$ где сразу может показаться, что мы сталкиваемся с проблемой, поскольку частная производная метрики отлична от нуля.

Так правда ли, что мы на самом деле не можем коммутировать ковариантные и контравариантные производные в ОТО, или в моей логике есть изъян (весьма вероятно)?

Примечание. Эта же логика, по-видимому, также подразумевает, что $\partial^{\mu}\partial_{\mu}\ne \partial_{\mu}\partial^{\mu}$ , что мне кажется очень странным.

Кайл Канос

Вероятно, связано: physics.stackexchange.com/q/187590/25301

проф. Леголасов

Каково ваше определение

\partial^{μ}

$\partial^{\mu}$ ?

Прахар

Нет. Твои чувства неверны. Вы не можете коммутировать приподнятые частные производные.

тпаркер

То же самое возражение применимо и к двум контравариантным частным производным, которые еще больше выглядят так, как будто они «должны» коммутировать.

ззз

@AccidentalFourierTransform нет, это не должно оставаться на физике SE, потому что это проблема с обозначениями, а обозначения изобретены, популяризированы и злоупотребляются физиками.

тпаркер

Такая же неоднозначность может возникнуть, даже если у вас есть только одна производная. Предположим, у вас есть одна форма

A_{μ}

$A_\mu$ . Если бы мы интерпретировали

\partial_{μ} A^{μ}

$\partial_\mu A^\mu$ как четырехдивергенция соответствующего четырехвектора

A^{μ}

$A^\mu$ , то у нас было бы

\partial_{μ} A^{μ} \neq \partial^{μ} A_{μ}

$\partial_\mu A^\mu \neq \partial^\mu A_\mu$ , потому что первое будет равно

\partial_{μ} (g^{μ ν} A_{ν}) = A_{ν} \partial_{μ} g^{μ ν} + g^{μ ν} \partial_{μ} A_{ν} = A_{ν} \partial_{μ} g^{μ ν} + \partial^{ν} A_{ν}

$\partial_\mu (g^{\mu \nu} A_\nu) = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + g^{\mu \nu} \partial_\mu A_\nu = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + \partial^\nu A_\nu$ . На практике мы обычно принимаем условное обозначение, согласно которому все производные берутся перед повышением или понижением любого индекса.

СлучайныйПреобразование Фурье

@bianchira достаточно честно.

Ответы (2)

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Вероятно, связано: physics.stackexchange.com/q/187590/25301
Каково ваше определение $\partial^{\mu}$ ?
Нет. Твои чувства неверны. Вы не можете коммутировать приподнятые частные производные.
То же самое возражение применимо и к двум контравариантным частным производным, которые еще больше выглядят так, как будто они «должны» коммутировать.
@AccidentalFourierTransform нет, это не должно оставаться на физике SE, потому что это проблема с обозначениями, а обозначения изобретены, популяризированы и злоупотребляются физиками.
Такая же неоднозначность может возникнуть, даже если у вас есть только одна производная. Предположим, у вас есть одна форма $A_\mu$ . Если бы мы интерпретировали $\partial_\mu A^\mu$ как четырехдивергенция соответствующего четырехвектора $A^\mu$ , то у нас было бы $\partial_\mu A^\mu \neq \partial^\mu A_\mu$ , потому что первое будет равно $\partial_\mu (g^{\mu \nu} A_\nu) = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + g^{\mu \nu} \partial_\mu A_\nu = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + \partial^\nu A_\nu$ . На практике мы обычно принимаем условное обозначение, согласно которому все производные берутся перед повышением или понижением любого индекса.

Дж. Г. · Answer 1

Коммутатор ковариантных производных определяет тензор Римана, а именно. $[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]=R_{\mu\nu\rho\sigma}\nabla^\sigma$ . Сокращение левых индексов дает $0$ , так как тензор Римана антисимметричен по крайним левым индексам. Однако, как правило, повышение одного индекса без сжатия дает ненулевой коммутатор для ковариантных производных. Конечно, поскольку ковариантные производные являются тензорами, то и их коммутаторы тоже.

Проблема, которую вы обнаружили с частными производными с верхними индексами, на самом деле мотивирует ковариантные производные, но мы можем объяснить это еще более простым вопросом о том, как определяются эти производные. Делает $\partial^\nu$ , что бы это ни было, действуйте, применяя $\partial_\mu$ до или после умножения на $g^{\mu\nu}$ ? Ясно, что проблема в том, что частные производные не являются «метрически совместимыми», что с точки зрения закона Лейбница означает, что они не уничтожают метрический тензор, тогда как ковариантные производные предназначены именно для этого.

Чувак, ты возьмешься за это? физика.stackexchange.com/questions/390668/…

ззз · Answer 2

Они не должны коммутировать, то, что они кажутся должными, является в основном поверхностным результатом обозначения.

Далее мы перепишем эти производные таким образом, чтобы было очевидно, что это не одно и то же. Идея состоит в том, чтобы просто понять их с точки зрения операций, которые являются немного более глобальными, чем перемещение членов в выражениях на касательном пространстве.

Требовать

Позволять $(M, g)$ быть римановым многообразием, $f \in C^\infty(M)$ . По некоторой локальной координате $x^\mu$ определяется при открытии $U \in M$ :

\partial_{в} \partial^{мю} ф знак равно г (г {Икс}^{мю} [\nabla ф]) [\partial_{ν}]

$\partial_v \partial^\mu f = d\left(~dx^\mu[\nabla f]~\right)[\partial_\nu]$

\partial^{мю} \partial_{в} ф знак равно г {Икс}^{мю} [\nabla (г ф [\partial_{в}])]

$\partial^\mu \partial_v f = dx^\mu[~\nabla(~df[\partial_v]~)~]$

куда

$d: C^\infty(M) \to \Omega^1(M) \equiv \Gamma(T^*M)$ ( $\Gamma$ пространство гладких сечений в расслоении) является дифференциалом де Рама.
$\nabla: C^\infty(f) \to \Gamma(TM)$ обычный градиент, определяемый свойством

г ф [в] знак равно ⟨ \nabla ф, в ⟩

$df[v] = \langle\nabla f, v\rangle$

Доказательство утверждения - это просто прямое вычисление, записывающее правую часть приведенных выше выражений в компонентах. Полезным идентификатором является локальное выражение для градиента: $dx^\mu[\nabla f] = g^{\mu\nu}\partial_v f$ (что можно доказать в качестве упражнения или найти в любом стандартном учебнике по римановой геометрии).

О сумме. Если вы пытаетесь вычислить лапласиан, правильная версия $\partial_\mu \partial^\mu$ , см., например, краткий вывод локальной формулы для оператора Лапласа-Бельтрами в википедии .

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

пользователь163020

Кайл Канос

проф. Леголасов

Прахар

тпаркер

ззз

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (2)

Дж. Г.

пользователь44690

ззз

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Почему ковариантная производная метрического тензора равна нулю?

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Как вычислить ковариантную производную ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha базисного вектора по другому базисному вектору?

Когда мы сможем поднять более низкие индексы «нетензоров», как это описано в книге Дирака «Общая теория относительности»?

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

Каков физический смысл связности и тензора кривизны?

Ковариантная производная ковариантного тензора относительно верхнего индекса

Мотивация ковариантных производных аксиом в контексте общей теории относительности

Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема