Ковариантная производная ковариантного тензора относительно верхнего индекса

Question

Ковариантная производная ковариантного тензора относительно верхнего индекса

GRrocks

Правда ли, что когда вы берете ковариантную производную ковариантного тензора, вам всегда приходится иметь дело с нижним индексом? Что, если вы сделаете это с надстрочным индексом? Принимает ли первый член (с частной производной) знак минус? Точнее, правда ли это?

\nabla^{мю} р_{мю ν} "=" - \frac{\partial р_{мю ν}}{\partial {Икс}_{мю}} + (Кристоффельс)

$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu} = -\frac{\partial R_{\mu\nu}}{{\partial x_{\mu}}} + \text{(Christoffels)}$

Откуда знак минус? Есть ли этому доказательство или это просто определение? Кроме того, есть ли изменение знаков для символов Кристоффеля (не изменение, если индексы тензора меняют положение, а изменение, когда изменяется индекс ковариантного дифференциала )?

Я хочу знать ДОКАЗАТЕЛЬСТВО / ПРИЧИНУ знака минус.

Охотник

Помните, что

x^{μ} x_{μ} = x_{μ} x^{μ}

$x^\mu x_\mu = x_\mu x^\mu$ . Другими словами, если нижний индекс ковариантной производной сжат, то на самом деле не имеет значения, является ли он верхним индексом, при условии, что другой (сокращенный) индекс понижен (и наоборот). Кроме того, знак минус, о котором вы говорите, возникает только тогда, когда вы увеличиваете/уменьшаете компонент времени (или пространственный компонент, в зависимости от используемой вами метрической подписи).

GRrocks

Подпись метрики (-+++), и я прочитал это в Интернете. Он не объяснил, как он это получил, поэтому я запутался.

Охотник

"Я прочитал это в Интернете"... Что именно вы прочитали в Интернете, т.е. что именно вас смущает?

GRrocks

Причина, по которой у вас там минус ..... А вот ссылка site.google.com/site/generalrelativity101/…

Ответы (2)

Ковариантная производная ковариантного тензора относительно верхнего индекса

Помните, что $x^\mu x_\mu = x_\mu x^\mu$ . Другими словами, если нижний индекс ковариантной производной сжат, то на самом деле не имеет значения, является ли он верхним индексом, при условии, что другой (сокращенный) индекс понижен (и наоборот). Кроме того, знак минус, о котором вы говорите, возникает только тогда, когда вы увеличиваете/уменьшаете компонент времени (или пространственный компонент, в зависимости от используемой вами метрической подписи).
Подпись метрики (-+++), и я прочитал это в Интернете. Он не объяснил, как он это получил, поэтому я запутался.
"Я прочитал это в Интернете"... Что именно вы прочитали в Интернете, т.е. что именно вас смущает?
Причина, по которой у вас там минус ..... А вот ссылка site.google.com/site/generalrelativity101/…

Джерри Ширмер · Answer 1

Нет. Индекс — это определенная вещь. Если у вас есть верхний индекс, вы просто предполагаете повышение с помощью метрического тензора, поэтому:

\nabla^{мю} р_{мю ν} \equiv г^{мю α} \nabla_{α} р_{мю ν}

$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu} \equiv g^{\mu\alpha}\nabla_{\alpha}R_{\mu\nu}$

который вы обычно расширяете с помощью частных производных и Кристоффеля. Конечно, поскольку мы знаем, что $\nabla^{a}\left(R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} \right)= 0$ , мы сразу знаем, что можем упростить $\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}$ к $\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R$

спасибо за ответ @jerry Schirmer ... однако, можете ли вы объяснить, откуда берется знак минус (я знаю тождества Бьянки, но пытался вывести LHS уравнений поля так, как это мог бы сделать Эйнштейн, поскольку у него не было эти тождества....)
@GRrocks: почему вы пренебрежительно говорите, что личностей Бьянки нигде нет? Я не могу точно сказать, что это не так, но большая часть работ Луиджи Бьянки датируется 1916 годом: en.wikipedia.org/wiki/Luigi_Bianchi .
@Jerruy Schirmer Я действительно не думаю, что Эйнштейн использовал бы личность Бьянки. Я не очень увлекаюсь биографиями, но я читал одну, и там говорилось, что Эйнштейн сначала дал уравнения поля только в терминах тензора Риччи, а позже понял ошибку и изменил уравнения на то, что мы сейчас изучаем. Он бы не сделал этого с самого начала, если бы знал имена, не так ли? Я просто играл с идеей, как бы он это сделал......
@GRrocks: если бы он не использовал общую теорему, я бы предположил, что он грубой силой получил личность $\nabla^{b}R_{ab} = \frac{1}{2}\nabla_{a}R$
хе-хе....может....не удивлюсь, если он это сделал.......

Охотник · Answer 2

Из ваших комментариев постараюсь ответить, что вас смущает. Возьмем метрическую подпись:

η_{мю ν} "=" д я а г (- 1, 1, 1, 1)

$\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ и рассмотрим некоторые общие

x^{μ}

$x^\mu$ . Обозначим временную составляющую

x^{μ}

$x^\mu$ к

x^{0}

$x^0$ . Если мы хотим понизить индекс

x^{0}

$x^0$ , мы получаем:

\begin{matrix} (1) & {Икс}^{0} "=" η^{0 мю} {Икс}_{мю} "=" η^{00} {Икс}_{0} + η^{01} {Икс}_{1} + η^{02} {Икс}_{2} + η^{03} {Икс}_{3} \end{matrix}

$x^0 = \eta^{0 \mu} x_\mu = \eta^{0 0} x_0 + \eta^{0 1} x_1 + \eta^{0 2} x_2 + \eta^{0 3} x_3 \tag{1}$ С

η^{00} = - 1

$\eta^{0 0} = -1$ и

η^{01} = η^{02} = η^{03} = 0

$\eta^{0 1} = \eta^{0 2} = \eta^{0 3} = 0$ , уравнение

(1)

$(1)$ становится:

{Икс}^{0} "=" - {Икс}_{0}

$x^0 = - x_0$ и так мы получаем знак минус.

Заметим, что если рассматривать только пространственную составляющую $x^i$ (где $i$ является либо $1$ ул. $2$ й или _ $3$ rd компонент), то мы снова понижаем индекс как:

{Икс}^{я} "=" η^{я мю} {Икс}_{мю} "=" η^{я 0} {Икс}_{0} + η^{я 1} {Икс}_{1} + η^{я 2} {Икс}_{2} + η^{я 3} {Икс}_{3} "=" {Икс}_{я}

$x^i = \eta^{i \mu} x_\mu = \eta^{i0} x_0 + \eta^{i1} x_1 + \eta^{i2} x_2 + \eta^{i3} x_3 = x_i$ и поэтому мы не получаем знака минус.

OKKK, так что знак минус на самом деле потому, что мы понижаем индексы ковариантной производной по отношению к метрике МИНКОВСКОГО. Но будет ли это действительным, если мы сделаем это по отношению к МЕТРИЧЕСКОМУ ТЕНЗОРУ для ЛЮБОГО линейного элемента??
Да, для любой лоренцевской метрики в ее канонической форме это будет справедливо (помните, что всегда можно привести метрику в ее каноническую форму для некоторой точки на многообразии). Какой показатель вы имеете в виду?
Спасибо @Hunter, я просто подумал о чем-то произвольном (например, о swarzchild)
Я не уверен, но вам, вероятно, придется изучить криволинейные координаты; помните, что базис касательной и ее кокасательного пространства должны удовлетворять $e^\mu e_\nu = g_{\mu \nu} e^\mu e^\nu = \delta^\mu_\nu$ .
@GRrocks: вы всегда можете диагонализовать метрику в точке, просто определив новые координаты $z^{a} = \lambda^{a}{}_{b}x^{b}$ для некоторого набора постоянных $\lambda$ .
После того, как метрика будет диагонализирована в точке, ее можно легко масштабировать, разделив каждую координату на ее значение в вашей точке. Затем вы можете умножить свои координаты на функции, чтобы исключить первые производные в этой точке. Математика будет немного уродливой для конкретных случаев, но степени свободы совпадают правильно, что вы всегда можете сделать это таким образом, что в произвольной точке всегда есть система координат, где $g_{ab}(p) = \eta_{ab}(p)$ и все первые производные $g_{ab}$ исчезнуть.

Ковариантная производная ковариантного тензора относительно верхнего индекса

GRrocks

Охотник

GRrocks

Охотник

GRrocks

Ответы (2)

Джерри Ширмер

GRrocks

Джерри Ширмер

GRrocks

Джерри Ширмер

GRrocks

Охотник

GRrocks

Охотник

GRrocks

Охотник

Джерри Ширмер

Джерри Ширмер

Почему ковариантная производная метрического тензора равна нулю?

Когда мы сможем поднять более низкие индексы «нетензоров», как это описано в книге Дирака «Общая теория относительности»?

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Каков физический смысл связности и тензора кривизны?

Мотивация ковариантных производных аксиом в контексте общей теории относительности

Геометрический смысл параллельного транспорта

Ковариантная производная ковариантной производной

Ковариантные производные нулевых тетрад

Внешние и ковариантные производные

Обобщенная расходимость тензора в ОТО