Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема

Координатно-инвариантный элемент объема/мера на многообразии с метрикой$g$является

$$d^d x \sqrt{|g|}$$ Под инвариантностью координат я подразумеваю, что если я решу работать в другой системе координат $x'$, то изменяются как определитель метрики, так и мера $d^dx$. Но они меняются таким образом, чтобы компенсировать друг друга. Другими словами $$d^d x' \sqrt{g'} = d^d x \sqrt{g}$$ В ОТО каждая физическая величина должна быть координатно-инвариантной. Поэтому удобно работать с координатно-инвариантными величинами даже на промежуточных этапах, чтобы мы могли быть уверены, что наш окончательный результат инвариантен к диффеоморфизму.

Фактор$\sqrt{|g|}$исходит из того, что форма объема (с точностью до нормализации)

$$\varepsilon_{\mu_1 \cdots \mu_d} = \sqrt{|g|} {\tilde \varepsilon}_{\mu_1 \cdots \mu_d} ~.$$ где ${\tilde \varepsilon}_{\mu_1 \cdots \mu_d}$является полностью антисимметричной формой с $${\tilde \varepsilon}_{012\cdots(d-1)} = +1$$ Можно наглядно показать, что только с учетом фактора $\sqrt{|g|}$выше это количество $\varepsilon_{\mu_1 \cdots \mu_d}$тензор.

Прахар прав, но следует отметить еще два момента.

Если пространство-время является$n$-мерное лоренцево многообразие$(M,g)$, позволять$\{E_1,\dotsc, E_n\}$быть ортонормированным репером, т.е.$E_i\in\Gamma(TM), T_pM=\mathrm{span}\,\{E_i\lvert_p\}$, и$g(E_i,E_j)=\eta_{ij}$, где$\eta=\mathrm{diag}\,(-1,1,\dotsc, 1)$– матрица Минковского. Тогда, если$M$является ориентируемым (выберите ориентацию) и фрейм последовательно ориентирован, существует уникальный$n$-форма$\omega$такой, что$\omega(E_1,\dotsc, E_n)=1$везде, где определен кадр. Если$\{x^i\}$- координаты на карте, последовательно ориентированные с рамкой, тогда$\omega=\sqrt{\rvert g\lvert}\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n$в области диаграммы. Доказательство см. в книге Ли «Введение в гладкие многообразия» . Затем мы можем использовать эту форму как меру$M$, и может определить интеграл функции как$\int_Uf:=\int_Uf\omega$где$U\subset M$является$n$-размерный.

Мы также можем определить$C^\infty(M)$-линейный изоморфизм между модулями$p$-формы и$(n-p)$-формы, называемые двойственными по Ходже ($\star$), с некоторыми особыми свойствами. В частности,$\star:C^\infty (M)\to \Omega^n(M)$определяет меру объема, если$M$ориентируется по$\star (1)$. Можно показать, что$\star(1)=\omega$(сверху). Доказательство см. в «Римановой геометрии и геометрическом анализе» Йоста. Таким образом$\int_Uf:=\int_U\star f=\int_Uf\star(1)=\int_Uf\omega$также является жизнеспособным интегралом.