Контрпример к «дифференцируемое подразумевает непрерывное»?

Как уже упоминалось здесь, вы вычисляете пределы производных слева от$0$, и пределы производных от права$0$. Это другое понятие, чем левая производная от$f$в$0$и правая производная от$f$в$0$.

Следовательно, ваша функция не противоречит утверждению о том, что дифференцируемость в точке влечет непрерывность в этой точке (а таких функций, конечно, нет, поскольку «дифференцируемость$\implies$непрерывное" является верным утверждением).

---

В качестве забавной теоремы у нас есть следующее (в доказательстве используется теорема о среднем значении):

Предполагать$f:I\to\Bbb{R}$это функция, определенная на некотором (скажем, открытом) интервале$I$, и$a\in I$точка такая, что:

• $f$непрерывен в$a$
• $f$дифференцируема во всех точках$I$, за исключением, пожалуй, в$a$
• $\lim\limits_{x\to a}f'(x)$существует

Затем,$f$дифференцируема в точке$a$, и$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}f'(x)$.

Функция$f$придуманное вами, удовлетворяет второму и третьему пунктам списка, но не первому, что просто показывает важность преемственности в рассматриваемом вопросе.

В качестве примера полезности этой теоремы рассмотрим функцию$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$определяется как

$$\begin{align} f(x)&:= \begin{cases} x^2&\text{if $x\geq 0$}\\ 0& \text{if $x<0$} \end{cases} \end{align}$$ Затем,$f$непрерывен в начале координат,$f$дифференцируема вне начала координат, и мы имеем $$\begin{align} f'(x)&= \begin{cases} 2x&\text{if $x>0$}\\ 0&\text{if $x<0$} \end{cases} \end{align}$$ Так,$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0$и$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0$, так$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$существует и равно$0$. Итак, все три условия теоремы выполнены, и теперь мы можем заключить, что$f$дифференцируема в начале координат и$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0$.

Конечно, в этом частном случае можно также непосредственно проверить, что для$h\neq 0$, у нас есть$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\to 0$как$h\to 0$, так что непосредственно из определения имеем$f$дифференцируемый в начале координат с$f'(0)=0$.