Концепция истины Тарского для формул бесконечной длины

Распространяется ли семантическая концепция истины Тарского, в частности его соглашение (Т) (X истинно тогда и только тогда, когда р), на формулы бесконечной длины?

Я не знаю ответа на этот вопрос, но просто хочу отметить — и я уверен, что вы это знаете, — что Гентцен использовал формулы вплоть до e_0, чтобы доказать непротиворечивость арифметики.
@MoziburUllah - доказательство Генцена использует индукцию до epsilon_0 в качестве аксиомы в метатеории.
Да; см. Бесконечная логика и определения истины Тарского : «Уже в 1950-х годах теоретики моделей интересовались формальными языками, которые включают виды выражений, отличные от всего, что было в статье Тарского 1933 года. Распространение определения истины на бесконечную логику вообще не было проблемой».

Ответы (1)

Есть два вида бесконечных выражений (формул, строк, слов): 1) те, которые могут быть описаны конечными выражениями, и 2) те, которые имеют бесконечную сложность и не могут быть сведены к конечным выражениям.

Примеры первого в области действительных чисел: 0,111... или SUM(1/n!). Эти выражения точно определяют числа как свои пределы, и могут использоваться и аналогичные логические выражения.

Примерами второго рода являются большинство действительных чисел, потому что существует несчетное множество, но только счетное множество конечных выражений. Эти избыточные числа не поддаются определению и поэтому не могут иметь числового значения, которое можно было бы передать в математическом дискурсе. То же верно и для бесконечных последовательностей логических атомов или других бесконечных выражений. Они не могут иметь истинностного значения, потому что каждое истинностное значение, полученное до определенного шага, может быть сведено на нет на следующем шаге. Без «Конца файла» невозможно различить значение.

Счетный аргумент является распространенным заблуждением: возможно , что каждое действительное число может быть однозначно задано формулой .
То, что происходит, прямо аналогично тому факту, что проблема приемлемости машины Тьюринга неразрешима — не существует множества, выражающего отношение, согласно которому данное (внутреннее) действительное число удовлетворяет заданной (внутренней) формуле. (при условии, что я не ошибся)
@Hurkyl: У вас распространенное заблуждение (которого также придерживался Кантор). Формула — это конечная последовательность букв в конечном алфавите. Таких формул счетно много. См. Вейля: «Возможные комбинации конечного числа букв образуют счетное множество» или Бернейса: «если мы будем следовать мысли, что каждое действительное число определяется арифметическим законом, идея совокупности действительных чисел уже не является необходимой» или Курт Шютте: «Если мы определим действительные числа в строго формальной системе, ... тогда эти действительные числа, безусловно, можно перечислить». Или перечислите их сами.
Почему должен быть набор, который дает перечисление? Между прочим, то же самое происходит и в теории вычислений: мы просто используем термин «рекурсивно перечислимый», а не «счетный».
@Hurkyl: Почему должен быть набор, который дает перечисление? Потому что все формулы принадлежат перечислимому множеству. (Вы также можете назвать это рекурсивно перечислимым.) Поэтому математика говорит нам, что для действительных чисел недостаточно формул.
Я не спрашивал, почему должен существовать набор, перечисляющий формулы, я спрашивал, почему это — вместе с гипотезой о том, что каждое действительное число может быть задано формулой — должно подразумевать, что существует множество, дающее перечисление вещественных чисел.
Чтобы сузить проблему, вы, конечно же, представляете пары понятий (P,r), где P — предикат, r — действительное число, а r — единственный объект в теоретико-множественном универсуме, удовлетворяющий P. Вопрос в том, почему должны существовать — множество всех таких пар.
Мы должны быть осторожны. r — это не действительное число, а выражение, которое можно заменить действительным числом. Для этого вы должны определить номер, который вы хотите использовать. Однако вы не можете определить его, если он имеет бесконечное количество цифр без формулы, позволяющей получить каждую цифру.
Я не понимаю, почему для введения переменной типа действительное число нужна формула для цифр (это даже нехорошее понятие в вычислимом анализе!), но она доступна: цифра на месте n есть остаток пола (|r| / 10^n) при делении на 10.
Вопрос не в том, чтобы ввести переменную. Вопрос в том, можно ли определить каждое действительное число. Ответ таков: если существует несчетное множество действительных чисел, то большинство из них не может быть определено, потому что разные действительные числа требуют разных определений, а существует только счетное множество определений. - Извините, это базовые знания. Я остановлюсь здесь.
Да, согласен, это распространенное заблуждение. Кардинальность может рассматриваться как мера сложности, а также как мера размера — я советую понимать вещи в терминах первого, если последнее вводит вас в заблуждение.
Концепция истины Тарского для формул бесконечной длины
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v