Определение истины Тарского для конечных языков

Ответ прост: да. Если у вас есть только конечное количество предложений, вы можете просто перечислить их в своем определении. Это будет что-то вроде:

x истинно тогда и только тогда, когда ( x =x1 & p1) или (x=x2 & p2) или ... или (x=xn & pn)

где x1..xn — имена предложений, а p1..pn — предложения.

Чтобы убедиться в этом, вспомним, для чего вообще было необходимо понятие удовлетворения. Если в языке бесконечно много предложений, то определение истины должно включать что-то вроде рекурсии. Но истина не может быть определена напрямую рекурсивно, поскольку истина применима только к полным предложениям, а в предложениях есть части, которые сами по себе не обязательно являются предложениями. Однако удовлетворение можно определить рекурсивно, так как оно применимо и к частям предложения. Но если ваш язык конечен, вам не нужна рекурсия.

Вот что говорит об этом Тарский сразу после представления Схемы Т в «Концепции истины в формализованных языках», стр. 188-189:

Если бы исследуемый язык содержал конечное число фиксированных с самого начала предложений и если бы мы могли перечислить все эти предложения, то задача построения правильного определения истины не представляла бы трудностей. ... Но ситуация не такая. Всякий раз, когда язык содержит бесконечно много предложений, определение, построенное автоматически по приведенной выше схеме, должно было бы состоять из бесконечно многих слов, а такие предложения не могут быть сформулированы ни в метаязыке, ни в каком-либо другом языке.

Соответствующий отрывок по этому поводу следующий:

«В то время как слова «обозначает», «удовлетворяет» и «определяет» выражают отношения (между известными выражениями и объектами, на которые эти выражения «относятся»), слово «истинный» имеет иную логическую природу: оно выражает свойство (или обозначает класс) определенных выражений, т. е. предложений.Однако легко видеть, что все приведенные ранее формулировки, имевшие целью объяснить значение этого слова... относились не только к самим предложениям, но и к также к предметам, «о которых говорят» эти предложения, или, может быть, к «положениям дел», описываемым ими, и, кроме того, оказывается, что самый простой и естественный способ получить точное определение истины — это тот, который включает в себя использование других семантических понятий, например, понятия удовлетворения.Именно по этим причинам мы причисляем обсуждаемое здесь понятие истины к понятиям семантики, и проблема определения истины оказывается тесно связанной с более общей проблемой установления основ теоретической семантики» (Альфред). Тарский,Семантическая концепция истины )

Пример, который Тарский приводит, чтобы проиллюстрировать природу понятия удовлетворения, следующий:

«Предложение «снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег бел».

Удовлетворение включает отношение между предложением и его референтом, или, как выразился Тарский, «объектами, о которых «говорят» эти предложения», и это отношение неизбежно. Независимо от того, какая логическая формулировка используется, то есть сводится ли она к конечному списку предложений, включает ли она сентенциальную логику или квантификацию; независимо от формулировки, самые основные элементы любого метаязыка всегда будут состоять из атомарных формул, истинностное значение которых зависит от этого отношения. Причина этого в том, что это важно для того, что такое язык.

С одной стороны, существует реальность, природа и существование которой не зависят от нашего знания о ней, а с другой стороны, существуют различные средства представления такой реальности таким образом, чтобы она способствовала пониманию и коммуникации. Язык является одним из таких средств, и сама причина существования состоит в том, чтобы служить в этой репрезентативной роли, так что без отношения, лежащего в основе понятия удовлетворения, язык вообще ничто. Бессмысленно говорить об истинности предложения как такового независимо от того, что оно представляет, потому что оно было бы сведено к бесполезной последовательности символов. Точно так же не имеет смысла говорить о реальности как об истинной, независимой от какого бы то ни было восприятия, описания, понимания или представления. потому что истина по самой своей природе есть способность таких представлений точно изображать действительность. Именно это имел в виду Тарский, когда говорил, что истина «выражаетсвойство (или обозначает класс) определенных выражений, а именно предложений».

Джамин Асай пишет:

«Тарский никогда не интересовался заменой нашей обычной концепции истины теми определениями, которые он предлагает. Скорее, определения Тарского работают в сочетании с нашей обычной концепцией истины. Мы знаем, что определения Тарского успешны только в том случае, если они адекватны в материальном отношении, в случае они влекут за собой все Т-предложения. Чтобы Т-предложения обеспечивали независимую проверку определений Тарского, они должны выражать важные факты о нашем обычном представлении об истине (или, по крайней мере, об условиях истинности наших предложений), а не пустые логические истины». (Джамин Асай, «Тарский и примитивизм об истине»)

Следовательно, понятие удовлетворенности существенно для любого определения истины, поскольку оно относится к способности предложений выполнять свою основную цель. И нет, истину нельзя определить как логический продукт всех экземпляров схемы, не прибегая к понятию удовлетворения, потому что понятие удовлетворения требуется для составления любой такой схемы на атомарном уровне.

Ответ зависит (1) от требований, предъявляемых к определению (истины), и (2) от предпочтительного (неформального) понятия истины.

Тарский выдвинул два требования к определению истины: «материальная» адекватность и «формальная» адекватность. Материальная адекватность связана с расширением предиката истинности. Истина для всех правильных предложений и только для правильных предложений должна вытекать из определения истины. Именно здесь задействуется Схема Т, которая является формализацией Тарским аристотелевского определения истины.

Мы хотели бы, чтобы наше определение отдавало должное интуициям, которые придерживаются классической аристотелевской концепции истины, интуициям, которые находят свое выражение в хорошо известных словах аристотелевской «Метафизики»: «Сказать о том, что есть, чего нет, или о том, чего нет». что оно есть, ложно, тогда как сказать о том, что оно есть, или о том, чего нет, что оно не есть, истинно. («Семантическая концепция истины», «Значение термина «истина»»)

Формальная адекватность касается выбора терминов в определении истины. Под этим Тарский имел в виду аспекты концепции истины, отличные от схемы. Сам Т. Тарский относился к «обычной» концепции истины, которую он отождествлял с рассмотрением истины как своего рода «соответствия» между словами и миром. «Семантическая» концепция истины Тарского, которая связывает воедино понятия истины, референции и удовлетворения, является формальной интерпретацией Тарским неформальной идеи соответствия слова и мира.

Однако нетрудно заметить, что все приведенные ранее формулировки, направленные на объяснение значения [слова «истина»] относились не только к самим предложениям, но и к объектам, «о которых» эти предложения «говорят», или, возможно, к «состояниям дел», описываемым ими. И, кроме того, оказывается, что самый простой и естественный способ получить точное определение истины — это тот, который связан с использованием других семантических понятий, например, понятия удовлетворенности. (там же, «Истина как смысловое понятие»)

Для финитарного языка возможно определение истины как конъюнкции схемы Т, и оно будет тривиально материально адекватным. Но может ли оно быть формально адекватным? Возможно, так и есть, если быть (в отличие от самого Тарского) минималистом в отношении понятия истины. Нам не нужно предрешать здесь вопрос о том, является ли понятие удовлетворения необходимой частью понятия истины. Чего мы не можем избежать, так это того, что если (неформальное) понятие истины для любого языка содержит что- либо существенное помимо схемы Т, то определение истины только в терминах схемы Т будет формально неадекватным.