Логика предикатов чем-то похожа на логику высказываний, за исключением того, что там, где логика высказываний работает только на уровне целых предложений ( например , A = «Сократ смертен», B = «Все шотландцы едят кашу без добавок»), она позволяет вам говорить о отдельные объекты ( например , «Сократ», «каша») и рассмотреть свойства этих объектов в любом отношении друг к другу, чтобы попытаться установить другие отношения, которые могут быть у этих объектов.
Но логика предикатов также включает в себя вещи, называемые «кванторами», которые пишутся как «∀» и «∃». Они называются «универсальный квантификатор» и «экзистенциальный квантификатор» и имеют какую-то связь с предложениями, начинающимися с каждого X , любого X , некоторого X и отсутствия X , где X — какое-то существительное, например «человек», « пирог» и так далее. Как мы используем их для описания таких утверждений, как «Ни один настоящий шотландец ничего не добавляет в свою кашу», «Один из людей в этой комнате — убийца» или «Я единственный и неповторимый Элвис Пресли»?
В наиболее распространенных формах логики предикатов ∀ и ∃ действуют как своего рода логическая конъюнкция (И) для всех объектов и логическая дизъюнкция (ИЛИ) для всех объектов соответственно.
Рассмотрим аргумент, в котором единственными «объектами» являются шотландцы, и пусть EPP( x ) = « x ест свою овсянку». затем
∀x : ПКП(x)
переводится (с несколько меньшей социальной грацией, чем можно было бы использовать в повседневной речи) как
Для каждого [шотландца] x: x ест свою овсянку
который мы могли бы лучше представить как
Каждый шотландец ест овсяную кашу .
Если мы предположим, что человек является «шотландцем» тогда и только тогда, когда он либо родился в Шотландии, либо является британским гражданином, проживающим в Шотландии не менее 90% своей жизни, то число шотландцев ограничено; поэтому мы могли бы также представить список всех шотландцев («Ангус», «Мейв», «Брюс», «Кэролайн», ...), и в этом случае он эквивалентен
(Ангус ест свою кашу без добавок) И (Мейв ест свою кашу без добавок) И ...
это не очень удобный способ выразить одно и то же, но это все равно эквивалентно, пока мы перечисляем всех шотландцев и ни одного человека (или предмета), который не является шотландцем. В этом смысле символ ∀ более эффективен — он позволяет нам выразить понятие
В особенности в последнем случае ∀ позволяет нам потенциально выразить что-то истинное о наборе, который бесконечен или объем которого нам еще неизвестен. Но даже в этом случае то, как он ведет себя, очень похоже на логическое «И» того же свойства для всех объектов в «области дискурса».
Точно так же, как ∀ выражает что-то вроде «И» для всех рассматриваемых объектов, ∃ выражает что-то вроде «ИЛИ». Предположим, что областью дискурса являются люди в какой-то конкретной комнате (которую я буду называть «этой» комнатой; вы можете представить, что говорящий сам находится в этой комнате), и M( x ) = « x — убийца». затем
∃х : М(х)
переводится как
Существует [человек в этой комнате] х: х убийца
который мы могли бы лучше представить как
Кто-то в этой комнате - убийца .
Вместо этого мы иногда говорим что-то вроде «В этой комнате убийца», но не намерены определенно утверждать, что такой человек есть ровно один. Опять же, если мы предположим, что в комнате находится только конечное число людей («Полковник Мастард», «Миссис Пикок», «Профессор Плам», ...), то это утверждение эквивалентно
Либо (полковник Мастард - убийца), ИЛИ (миссис Пикок - убийца), ИЛИ ...
что снова неудобно, но в принципе эквивалентно утверждению с ∃, если список содержит всех людей в комнате и только людей в комнате.
Было бы неплохо иметь возможность говорить обо всех шотландцах, которые вместо этого пьют виски, но не меняя при этом вселенную дискурса; или действительно постоянно говорить не только о шотландцах. Мы делаем это, вводя способы ограничения количественного определения.
Для квантора существования это легко и очевидно. Например, предположим, что мы позволяем вселенной дискурса быть всем на Земле, включая шотландцев, китайцев, мед, патоку, муравьев и так далее. Мы можем восстановить утверждения о шотландцах, используя предикат S( x ) = « x — шотландец»; так что мы можем сделать
Есть шотландец, который ест свою овсянку
как «есть [что-то] шотландец, который ест свою кашу без добавок»; или же
∃x: S(x) и EPP(x) .
Мы можем сделать что-то подобное для универсальной количественной оценки. Например, если мы хотим говорить о вещах, которые верны для всех шотландцев, мы можем сделать это, сделав утверждение, истинное для любого объекта х, если х — шотландец. Например,
Все шотландцы едят свою овсяную кашу
может быть описано как «любая [вещь], которая является шотландцем, ест свою кашу без добавок» или «для любой [вещи] x: если x — шотландец, то x ест свою кашу без добавок», что мы можем представить как
∀x: S(x) ⇒ EPP(x) .
Это, как правило, настолько полезный способ описания вещей, что мы определяем для него нотацию, возможно, следующего содержания:
∃x∈S: P ≡ ∃x: [S(x) & P]
∀x∈S: P ≡ ∀x: [S(x) ⇒ P]
где то, что я написал слева, в основном трактует S как описание множества — например, множества всех шотландцев. (Обозначения будут различаться в разных сообществах.) Эти два «ограниченных» квантификатора действуют точно так же, как если бы они были нормальными квантификаторами ∀ и ∃, за исключением того, что они охватывают те объекты x , которые удовлетворяют S( x ).
Вы можете удивиться, почему при ограниченной квантификации над S мы используем S(x) & Pдля экзистенциальной квантификации над S, а S(x) ⇒ Pдля универсальной квантификации над S. Ответ скрыт в связи между кванторами и связками И и ИЛИ: существует связь между ∀ и ∃ с помощью законов де Моргана в классической логике. Это верно независимо от того, используем ли мы ограниченные квантификаторы или неограниченные квантификаторы.
Например, рассмотрим случай, когда шотландцы снова являются универсумом дискурса. Предположим, что мы интерпретируем ¬EPP(x) как означающее « x добавляет что-то к своей каше, когда они ее едят». Тогда следующие утверждения эквивалентны:
∀x: EPP(x) — каждый шотландец ест свою кашу
без добавок ¬∃x: [¬EPP(x)] — ни один шотландец ничего не добавляет в свою кашу
(Почему мы меняем слово «что-то» на «что-нибудь» в приведенном выше предложении? В основном потому, что противоположным слову «некоторые» в английском языке является «не любой».) Мы можем увидеть это, используя описание в терминах И и ИЛИ:
¬ ∃x: [¬EPP(x)] — шотландцы ничего не добавляют в кашу, когда едят ее .
можно интерпретировать, используя наш список шотландцев, как
¬[ (Ангус ест свою кашу с чем-то добавленным) ИЛИ (Мейв ест свою кашу с чем-то добавленным) ИЛИ ... ]
что эквивалентно
¬(Ангус ест свою кашу с чем-то добавленным) И ¬(Мейв ест свою кашу с чем-то добавленным) И ...
≡ (Ангус ест свою кашу без добавок) И (Мейв ест свою кашу без добавок) И ...
что то же самое, что ∀x: EPP(x)и раньше. И наоборот, если какой - нибудь шотландец ест свою кашу с чем-то добавленным, то мы имеем
∃x: [¬EPP(x)] — Некоторые шотландцы добавляют что-то в свою кашу, когда едят ее .
который с нашим списком шотландцев становится
(Ангус ест свою кашу с чем-то добавленным) ИЛИ (Мейв ест свою кашу без добавок) ИЛИ ...
≡ ¬(Ангус ест свою кашу без добавок) ИЛИ ¬(Мейв ест свою кашу без добавок) ИЛИ ...
что, используя закон де Моргана, дает нам
¬[ (Ангус ест свою овсяную кашу) И (Мейв ест свою овсяную кашу) И ... ]
что просто ¬∀x:EPP(x)или
Не все шотландцы едят овсяную кашу без добавок .
Таким образом, для любого свойства P мы имеем следующие эквивалентности:
No object x is P — Все объекты x не являются P ; или
¬∃x: P(x) ≡ ∀x: ¬P(x) .Some object x is not-P — Не все объекты x являются P ; или
∃x: ¬P(x) ≡ ¬∀x: P(x) .
То же самое верно, если мы используем ограниченную количественную оценку. Для любого свойства S и любого предложения P мы имеем следующие эквивалентности:
¬∀x∈S: P
≡ ¬∀x: [ S(x) ⇒ P ]
≡ ¬∀x: [ ¬S(x) ∨ P ]
≡ ∃x: ¬[ ¬S(x) ∨ P ]
≡ ∃ x: [ S(x) & ¬P ]
≡ ∃x∈S: ¬P
а также
¬∃x∈S: P
≡ ¬∃x: [ S(x) & P ]
≡ ∀x: ¬[ S(x) & P ]
≡ ∀x: [ ¬S(x) ∨ ¬P ]
≡ ∀x : [ S(x) ⇒ ¬P ]
≡ ∀x∈S: ¬P .
Причина использования различных связок при определении ограниченных количественных определений, по сути, заключается в том, что это то, что нам нужно иметь, чтобы позволить ограниченным количественным определениям вести себя так, как если бы они были «нормальными» количественными данными в меньшей области.
Используя все вышеперечисленное, мы можем понять, как предложения в повседневном языке могут быть описаны с помощью кванторов. В конце концов, все сводится к пониманию вещей с точки зрения «некоторых» или «всех», а затем их формальному переводу.
«Нет Х» или «Ни один из Х» — универсальные утверждения.
Почему? Потому что «никто» — это отрицание «некоторых». Так что, если мы говорим: «Нет Х есть Р», мы на самом деле говорим
Не существует X, который является P
или эквивалентно
¬∃x∈X: P(x)
≡ ∀x∈X: ¬P(x)
что является универсальным утверждением.
«Некоторые утверждения X» являются экзистенциальными утверждениями.
Это верно независимо от того, говорим ли мы о каком-то X , имеющем свойство, или о каком-то X, не имеющем свойства. Почему? В данном случае это прямо на языке. Если мы говорим, что «некоторые X являются P», мы говорим
Существует X, который является P
или эквивалентно
∃x∈X: P(x) .
Точно так же, если мы говорим, что «некоторые X не являются P», мы говорим
Существует X, который не является P
или эквивалентно
∃x∈X: ¬P(x) .
Таким образом, оба они, очевидно, экзистенциальны.
Утверждения «Все X» и «каждый X» являются универсальными утверждениями.
Это снова верно независимо от того, говорим ли мы о каком-то X , имеющем свойство, или о каком-то X, не имеющем свойства, и, как и в случае с «некоторыми» утверждениями, это прямо в языке: утверждение «все» будет кипеть. вплоть до чего-то в форме
∀x∈X: P(x) или ∀x∈X: ¬P(x) ,
в зависимости от того, идет ли речь о том, является ли каждый объект P или каждый объект не является P.
Утверждения «любые X» являются универсальными утверждениями.
Вы должны быть осторожны, думая о том, как используется слово «любой». Мы часто спрашиваем по-английски: есть ли какой-либо из [некоторый объект] ? Этот вопрос может быть вопросом об экзистенциальной квантификации, но это определенно не экзистенциальное суждение — и не суждение любого рода.
Если вы думаете о каком-либо утверждении (в отличие от вопроса) в форме «любой X», должно быть совершенно ясно, что оно имеет отношение к чему-то, что считается истинным для всех объектов. «Каждый, кто родился в Шотландии, является шотландцем» - это утверждение обо всех людях, родившихся в Шотландии; «Квадрат любого целого числа есть другое целое число» — это утверждение о чем-то, что справедливо для любого целого числа. Таким образом, утверждение «Любой X есть P» переводится как
∀x∈X: P .
Это также относится к утверждениям «нет никаких X», связанных с вопросом «есть ли какие-либо?» Если мы говорим, что их нет, мы утверждаем, что нет ни одного из X ; поэтому, как мы заметили выше, мы утверждаем
¬∃x∈X: P ≡ ∀x∈X: ¬P .
Таким образом, тщательно рассмотрев то, что утверждается, мы можем преобразовать его в утверждение о существовании, не-существовании или нечто, что истинно для всех объектов, а затем преобразовать его в нечто явно экзистенциальное (∃) или очевидно универсальный (∀).
Важно помнить, что порядок квантификаторов имеет значение — часто вы не можете изменить их порядок, не изменив значения.
Вы можете изменить порядок двух соседних кванторов существования, в основном потому, что ИЛИ коммутативно и ассоциативно: помните, что a v b v cэто то же самое c v a v b, что и , и так далее. Итак, если c = «есть сыр», и если A( x,t,a ) означает, что « x — это место, а t — время, когда уместно делать a », то
∃x ∃t: A(x,t,c) и ∃t ∃x: A(x,t,c)
оба означают, что по существу есть время и место для поедания сыра ; разница сводится к тому, проходит ли дизъюнкция сначала по возможным местам, а затем (для каждого места) рассматривает возможные времена, чтобы определить, есть ли подходящее время в этом месте; или вместо этого дизъюнкция сначала повторяет возможные моменты времени, а затем для каждого момента времени рассматривает возможные места, чтобы выяснить, есть ли подходящее место в это время.
Точно так же вы можете изменить порядок любых смежных универсальных кванторов. Если вы ярый энтузиаст сыра, вы можете заявить следующее (оба утверждения эквивалентны):
∀x ∀t: A(x,t,c) и ∀t ∀x: A(x,t,c)
оба из них означают, что каждое время и любое место являются хорошим временем и местом, чтобы поесть сыра — неважно, какое время вы рассматриваете, каждое место хорошо; и неважно, где вы находитесь, в любое время хорошо.
ОДНАКО — вы не можете изменить порядок кванторов всеобщности и кванторов существования, не изменив смысла. Вместо того, чтобы просто зацикливаться на поедании сыра, давайте рассмотрим все возможные виды деятельности. затем
∀ a ∃x ∃t: A(x,t,a)
означает, что для каждой деятельности есть время и место, когда она уместна; часто говорят вслух, как «всему свое время и место». Однако это не то же самое, что
∃x ∃t ∀ a: A(x,t,a)
а это значит, что есть время и место, где все одновременно уместно. (Это то, что вы могли бы также описать как « для всего есть время и место »; это просто показывает, что повседневная речь неоднозначна и что вы должны проявлять рассудительность в том, как ее интерпретировать.) Например, если L( x,y,t ) означает « x любит y в момент времени t », то предложение
∀x ∃y ∃t: L(x,y,t)
можно интерпретировать как « каждый когда-нибудь кого-нибудь любит »; тогда как
∃y ∀x ∃t: L(x,y,t)
означает, что есть какой-то единственный человек, которого все любят в какой-то момент своей жизни;
∃t ∀x ∃y: L(x,y,t)
означает, что есть время, когда все влюблены в кого-то другого; а также
∃y ∃t ∀x: L(x,y,t)
означает, что есть какой-то единственный человек, которого хотя бы в один момент времени любили все сразу, — все это означает совершенно разные вещи.
Наконец, используя теорию определенных описаний, мы можем охарактеризовать уникальное существование, используя комбинацию экзистенциальной квантификации, универсальной квантификации и равенства. Например, если E( x ) = « x — это Элвис Пресли», а i = я сам, я мог бы представить, что я — единственный и неповторимый Элвис Пресли , с помощью
E(i) & ∀y: [(y ≠ i) ⇒ ¬E(y)]
или «Я Элвис Пресли, и любой, кто не я, не Элвис Пресли». Мы можем упростить это логически (хотя и за счет того, что это будет немного извращенной фразировкой в обычной речи), взяв противопоставление во второй части:
E(i) & ∀y: [E(y) ⇒ (y = i)]
или «Я Элвис Пресли, и любой, кто является Элвисом Пресли, не кто иной, как я сам». Если бы я хотел сказать, что существует один и только один Элвис Пресли, не утверждая, что я сам Элвис, я мог бы вместо этого написать
∃x: [E(x) & ∀y: [E(y) ⇒ (x = y)]]
что мы могли бы интерпретировать как «есть кто-то, кто является Элвисом Пресли, и [он уникален, т.е.] любой, кто является Элвисом Пресли, не кто иной, как Элвис Пресли». (Используя определения ограниченных количественных определений, мы могли бы даже написать это так ∃x∈E ∀y∈E: (x=y): «Есть Элвис Пресли, и все Элвисы Пресли — один и тот же человек».)
Если бы мы хотели сказать, что существует по крайней мере два Элвиса Пресли, мы могли бы отрицать только ту часть утверждения выше, где мы утверждаем уникальность:
∃x: [E(x) & ¬∀y: [E(y) ⇒ (x = y)]]
или эквивалентно
∃x: [E(x) и ∃y: [E(y) & (x ≠ y)]]
(Версия с ограниченной количественной оценкой будет записана как ∃x∈E ∃y∈E: (x≠y), или «Есть два [разных] Элвиса Пресли».) Мы можем перенести внутренний квантификатор вперед, который переводит формулу в пренексную нормальную форму :
∃x ∃y: E(x) & E(y) & (x ≠ y) .
Если бы мы хотели сказать, что существует ровно два Элвиса Пресли, мы могли бы тогда утверждать, что любой, кто является Элвисом Пресли, должен быть одним из двух, которых мы идентифицировали, то есть
∃x ∃y: E(x) & E(y) & (x ≠ y) & (∀z: [E(z) ⇒ (z=x ∨ z=y)]) .
или снова, вынося внутренний квантификатор наружу, чтобы привести формулу к пренексной нормальной форме , мы можем написать
∃x ∃y ∀z: E(x) & E(y) & (x ≠ y) & [E(z) ⇒ (z=x ∨ z=y)] .
пользователь1534664
Ниэль де Бодрап