Очевидно, не в классической логике, поскольку она подтверждает исключенное третье, но, что менее очевидно, и не в интуиционистской логике. Интуиционисты отождествляют истину и доказуемость и отбрасывают исключенное третье, что звучит многообещающе, но неприятный побочный эффект последнего заключается в том, что многие классически доказуемые утверждения (например, теорема о промежуточном значении) больше не доказуемы. Для определенности рассмотрим классическую математику и неразрешимые утверждения стандартной теории множеств (ZFC).
Вот интуитивная причина, по которой я думаю, что такая логика должна быть. Номиналист/формалист может рассматривать классическую математику как полезную игру символов, в которую играют по проверенным временем правилам, ныне официально кодифицированным. Исключенная середина является одним из правил и вполне допустима, но если правила не могут определить истинностное значение утверждения, тогда все — нет платоновского царства, куда можно было бы добраться в поисках недостающей части. Что-то вроде континуум-гипотезы просто не имеет истинностной ценности. Как кто-то пошутил, большинство математиков — платоники, большинство нематематиков — номиналисты, так что эта точка зрения может быть широко распространена.
Такой взгляд кажется мне последовательным и, возможно, дает лучшее из обоих миров: всю классическую математику, никакого платонического багажа. Популярный в настоящее время теоретико-множественный плюрализм, по сути, принимает его: «математическую реальность лучше всего понимать как раздробленную и недетерминированную», существует мультивселенная теорий множеств, много разных правил, много разных игр.
На первый взгляд кажется, что в объектном языке используется классическая логика, а в метаязыке — интуиционистская логика. Но я не уверен, можно ли это сделать последовательно или как будет работать семантика. Кроме того, в классической логике отсутствие объектов делает математику тривиальной, поскольку все условные выражения бессмысленно истинны, поэтому требуется некоторая корректировка. Существует ли выработанная логика, учитывающая плюрализм?
Логика доказуемости, вероятно, поможет. По сути, логика доказуемости принимает форму модальной логики для представления доказуемости в некоторой системе S. Таким образом, вы бы читали S как самую сильную фундаментальную систему, которую вы принимаете (ZFC или что-то еще). И вы бы прочитали «p истинно» как «ящик p», а «p ложно» как «ящик ~p». Я не знаю, является ли это ужасно принципиальным подходом к делу, но я оставлю мотивацию на ваше усмотрение.
Редактировать: я хочу призвать вас ослабить требование о том, что «неразрешимые утверждения не являются ни истинными, ни ложными». Если и есть что-то, чему мы научились за прошедший век, так это тому, что правда и доказательство могут расходиться. И не лучше привязывать (истину или ложь) к доказуемости.
Существует также другой подход: конструктивная математика и, в частности, версия Бишопа , которая обеспечивает:
конструктивное развитие большей части анализа двадцатого века, включая теорему Стоуна-Вейерштрасса, теоремы Хана-Банаха и разделения, спектральную теорему для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, теоремы Лебега о сходимости для абстрактных интегралов, Хаара мера и абстрактное преобразование Фурье, [...].
Смотрите хотя бы:
а также :
Это должно быть своего рода паранепротиворечивой логикой. ССЫЛКА на статью в Стэнфордской энциклопедии здесь: http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/
Было бы неплохо, если бы кто-нибудь мог сослаться на примеры любых проектов по этому вопросу. Статья указывает на исследование того, что называется непоследовательной математикой.
Хороший обзор проблемы можно найти в статье Приста «Математический плюрализм, Logic Jnl IGPL» (2012) doi: 10.1093/jigpal/jzs018.
Вы упомянули «теоретико-множественный плюрализм», так что вы уже знаете, что стандартная классическая логика со стандартной интерпретацией через теорию моделей уже является такой логикой.
Те вещи, которые верны во всех моделях ваших аксиом, истинны, а те вещи, которые верны ни в одной модели, ложны. Если вы можете создать как непротиворечивую модель, содержащую утверждение, так и модель, не содержащую его, то она по определению не является ни истинной, ни ложной, не удовлетворяющей ни одному критерию.
Это уже устанавливает все, о чем вы спрашиваете, включая семантику, которая определяется этим определением истинного и ложного. Он также как бы предписывает, как «работает» логика: нужно выделять и отбрасывать независимые гипотезы в качестве потенциальных исходных аксиом, а не использовать факты в рамках одного и того же доказательства или конструкции, которые требуют противоречивых наборов аксиом.
Так что я упускаю суть вопроса. Я предположил, что вы ожидаете какой-то конечной или трансфинитной процедуры доказательства для такой логики, но ваши ответы говорят об обратном. Возможно, это скрыто в мотивации.
При таком подходе к современной теории множеств нет необходимости ограничиваться чем-то столь же слабым, как интуитивизм или конструктивизм в дедукциях или «метаязыке». Вы можете избежать этого многими способами, но два из них очевидны.
Во-первых, это определение истины основано на построении внутренне непротиворечивых примерных вселенных, а не на дедукции. Так что такие вещи, как закон исключенного третьего, можно считать аксиомой и включить в определение непротиворечивости. Вам нужно только 1) поверить, что изоморфные модели действительно действуют одинаково, и 2) отказаться от представления о том, что существует единственная всеобъемлющая метамодель всей вселенной, которая внутренне непротиворечива.
Во-вторых, вы можете до некоторой степени расширить понятие конструкции. Самые основные модели, L и V, включают порядковые номера внутри моделей. Это дает вам трансфинитную индукцию и, следовательно, трансфинитную теорию доказательств, которая допускает «конструктивные» доказательства относительно более широкого круга вещей. Учитывая это соглашение, вы можете предположить башню «больших кардинальных аксиом», доходящую до «Ulitmate L» Вудина, которые увеличивают силу бесконечных доказательств, используя идею о том, что один из «шагов объединения» в любой трансфинитной дедукции будет происходить в течение некоторого времени. свидетельство предполагаемой аксиомы.
Кроме того, я не утверждаю, что логика теории моделей свободна от путаницы, я лишь утверждаю, что она действительно существует. Один странный аспект семантики здесь, который вы называете двумя слоями, заключается в том, что построение модели происходит в одной теории множеств, в то время как сами модели представляют экземпляры другой.
Например, «аксиома детерминированности бесконечных игр» противоречит аксиоме выбора. Изучая аксиому детерминированности, мы можем создать пространство ее моделей. Тогда во всех этих моделях аксиома выбора обязательно ложна. Но мы создаем их встроенными в мир, где мы предполагаем, что аксиома выбора верна, и семантика существования моделей допускает это. Следовательно, семантика говорит, что встроенные доказательства требуют, чтобы оно было ложным, но наше знание этих доказательств зависит от того, потенциально ли оно истинно. Мы делаем это потому, что вселенная, где она ложна, имеет меньше свободы, поэтому мы используем надмножество моделей, которые имели бы значение, если бы она оказалась ложной. Если лишние ненастоящие, никакой потери доверия не происходит.
А что, если бы мы поступили наоборот? Мы получили бы истины об аксиоме выбора, познаваемые только при условии ее ложности. Семантика допускает такую вещь, но имеет ли она какое-либо реальное значение, весьма сомнительно.
До сих пор мы с изумлением обнаруживали, что наши идентифицированные независимые аксиомы явно имеют «большую» и «меньшую» стороны, или же они образуют «башни» свободы, подобные башне больших кардинальных аксиом или башне с «финитизмом». детерминированность, проективная детерминированность, иерархическая детерминированность, иерархический выбор, разветвленный выбор, выбор» и явно идет от меньших миров к большим.
У них почему-то нет точек слияния, где становится неоднозначно, какая версия мира «допускает больше моделей». Но неужели это просто человеческое отсутствие воображения на работе? Это кажется неоправданно удобным.
Исключенное третье не означает, что все либо истинно, либо ложно. Например, существует четырехзначная логика, истинностные значения которой равны (T,T), (T,F), (F,T) и (F,F), а логические связки применяются поэлементно.
В этой логике (T,T) истинно, а (F,F) ложно, но у вас все еще есть эти два других значения истинности, и они все еще удовлетворяют закону исключенного третьего; например, если мы подставим P=(T,F) в "P или не P", мы вычислим
Оказывается, есть простая формальная вещь, которую вы можете сделать; определяют многозначную логику, значения истинности которой в точности являются классами эквивалентности утверждений, где P и Q обозначают одно и то же значение истинности тогда и только тогда, когда существует доказательство Q из P и доказательство P из Q.
В этой логике утверждение истинно тогда и только тогда, когда оно является тавтологией; это включает в себя все теоремы математики, такие как «аксиомы Пеано подразумевают, что 1 + 1 = 2».
Точно так же каждое противоречие ложно.
Таким образом, утверждения типа «ZFC подразумевает CH» не будут ни истинными, ни ложными.
И, несмотря на многозначность семантики, это все же классическая логика, удовлетворяющая закону исключенного третьего: например, «П или не П» есть тавтология, а значит, и истина.
Есть способы разумно интерпретировать это как пространство «всех возможных математических миров»; например, рассматривать отношение, что «(ZFC подразумевает CH)≡истинно», как уравнение, которое вырезает подпространство всей «вселенной», где выполняется гипотеза континуума.
I. Было бы действительно очень странно, если бы истинность/ложность/ни одно из утверждений, скажем, об арифметике не зависело бы от набора более или менее произвольных аксиом, изобретенных людьми в двадцатом веке.
Это говорит, например, о том, что Гаусс, никогда не слышавший о ZFC, не мог бы знать, что утверждение «2+2=4» истинно, и фактически не смог бы сформулировать правильное определение что это будет означать , чтобы это утверждение было правдой.
II. У данного математического утверждения может быть более одной формализации в ZFC, и одна из этих формализаций может быть разрешимой, а другая нет. С вашей точки зрения, имеют ли такие утверждения значение истины?
III. В любом случае непонятно, что вы предлагаете. Что из следующего ближе всего?
Версия 1: Разрешимость в ZFC приводит к тому, что утверждения имеют значения истинности.
Версия 2: Набор утверждений, которые могут быть разрешены в ZFC, совпадает с набором утверждений, имеющих истинностные значения.
Версия 3: Что-то другое.
IV. Вы пишете: "если правила не могут определить истинность утверждения, то всё" --- А. Но вопрос «Вытекает ли теорема А из аксиом В, С и D?» это математический вопрос, и вы только что допустили, что на него есть ответ . Это означает, что, учитывая остальную часть вашей программы, вы предполагаете , что утверждение «Теорема A следует из аксиом A, B и C» разрешимо. Но мы знаем, что есть утверждения такой формы, которые неразрешимы. Так что я считаю, что вы поднимаете на свою собственную петарду.
УиллО
Конифолд
УиллО
пользователь9166
Конифолд
Корт Аммон
пользователь9166
Конифолд
Конечно