Ковариантная формула Лоренца для зарядов Нётер в КТП

Question

Ковариантная формула Лоренца для зарядов Нётер в КТП

пользователь78618

Я ищу лоренцевское ковариантное выражение зарядов Нётер и нашел эту статью: https://arxiv.org/abs/hep-th/0701268 , в частности раздел II-A.

Рассмотрим конкретно ур. (20-21), они утверждают:

{Вопрос}_{мю} "=" \frac{1}{2} (ф, п_{мю} ⊳ ф),

$Q_\mu=\frac{1}{2}(\phi, P_\mu \rhd \phi),$

Q

$Q$ - сохраняющийся заряд, "

⊳

$\rhd$ " - это просто символ, действующий на" и внутренний продукт определяется как (

ε

$\varepsilon$ является знаковой функцией):

(ф_{1}, ф_{2}) "=" \int г^{4} п дельта (п^{2} - м^{2}) ε (п_{0}) {\tilde{ф}}_{1}^{*} (- п) {\tilde{ф}}_{2} (п) .

$(\phi_1, \phi_2)=\int d^4p \, \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p_0)\tilde{\phi}_1^*(-p)\tilde{\phi}_2(p).$

\tilde{ϕ}

$\tilde{\phi}$ является преобразованием Фурье

ϕ

$\phi$ .

Следовательно, заряд Нётер равен

\begin{matrix} (1) & {Вопрос}_{мю} "=" \frac{1}{2} \int г^{4} п дельта (п^{2} - м^{2}) ε (п_{0}) п_{мю} {\tilde{ф}}^{*} (- п) \tilde{ф} (п) . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{1} \tag{1} Q_\mu = \frac{1}{2}\int d^4p \, \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p_0)p_\mu\tilde{\phi}^*(-p)\tilde{\phi}(p). \end{equation}$

Теперь я изо всех сил пытаюсь получить известное квантованное выражение в QFT:

{Вопрос}_{мю} "=" \int г^{3} п п_{мю} а^{†} (\vec{п}) а (\vec{п}), [а^{†} (\vec{п}), а (\vec{д})] "=" - {дельта}^{3} (\vec{п} - \vec{д})

$Q_\mu= \int d^3p\,\, p_\mu \,\,a^\dagger (\vec{p}) \,a (\vec{p}), \,\,\,\,[a^\dagger (\vec{p}), \,a (\vec{q})]=-\delta^3 (\vec{p}-\vec{q})$ из (1), подставив обычное скалярное поле Клейна-Гордона с операторами рождения и уничтожения.

Если не ошибаюсь (1) в координатном пространстве выглядит так

\begin{matrix} (2) & \int г^{4} Икс г^{4} у ф (Икс) Δ (Икс - у) (- я \frac{\partial ф (у)}{\partial у^{мю}}) "=" {Вопрос}_{мю}, \end{matrix}

$\int d^4x \,\,d^4y \,\, \phi (x) \Delta (x-y)\left( -i\frac{\partial \phi(y)}{\partial y^\mu}\right)=Q_\mu, \tag{2}$ где

Δ

$\Delta$ является обычной коммутационной функцией

Δ (Икс - у) "=" \int г^{4} п ε (п_{0}) дельта (п^{2} - м^{2}) е^{- я п \cdot (Икс - у)} .

$\Delta (x-y)=\int d^4p \,\, \varepsilon(p_0) \delta (p^2-m^2)e^{-ip\cdot (x-y)}.$ Просто подставив в (2)

ф (Икс) "=" \int \frac{г^{3} п}{{\sqrt{2 ю}}_{\vec{п}}} (а (\vec{п}) е^{- я п \cdot Икс} + а^{†} (\vec{п}) е^{я п \cdot Икс})

$\phi(x)= \int \frac{d^3p}{\sqrt{2\omega}_\vec{p}}(a(\vec{p}) e^{-ip\cdot x}+a^\dagger(\vec{p}) e^{ip\cdot x} )$ Я, кажется, не получаю правильный ответ.

Может быть, я неправильно делаю какие-то расчеты или неверно истолковал статью. Любая помощь будет принята с благодарностью!

ОБНОВЛЯТЬ

Например, написание $\phi(x)=\int d^4p \,\, a(p) \delta(p^2-m^2) e^{-ip \cdot x}$ затем $\tilde{\phi}(p)=a(p)\delta(p^2-m^2)$ и (1) становится

{Вопрос}_{мю} "=" \frac{1}{2} \int г^{4} п ε (п_{0}) п_{мю} а (- п) а (п) дельта (п^{2} - м^{2}) дельта (п^{2} - м^{2}) дельта (п^{2} - м^{2}) .

$Q_\mu= \frac{1}{2} \int d^4p \,\, \varepsilon(p_0) \, p_\mu a(-p)a(p)\,\,\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2).$ Это правильно? Как проработать три дельты? Я мог бы использовать личность

δ (x) f (x) = δ (x) f (0)

$\delta(x)f(x)=\delta(x)f(0)$ с

f = δ

$f=\delta$ дважды, чтобы получить

дельта (п^{2} - м^{2}) дельта (п^{2} - м^{2}) дельта (п^{2} - м^{2}) "=" дельта (п^{2} - м^{2}) дельта (0) дельта (0) "=" дельта (п^{2} - м^{2}) \cdot С,

$\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)=\delta(p^2-m^2)\delta(0)\delta(0)=\delta(p^2-m^2)\cdot \mathcal{S},$ где

S

$\mathcal{S}$ является (бесконечным) поверхностным вкладом, который я в настоящее время не вижу, как он компенсируется. что мне не хватает?

Ответы (1)

Ковариантная формула Лоренца для зарядов Нётер в КТП

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Стандартное соглашение состоит в том, чтобы взять $\tilde \phi(p)\equiv \delta(p^2-m^2)a(\vec p)$ . Должно быть ясно, что это выражение не может быть правильным в этом контексте именно по причине, найденной OP: скалярное произведение $(\phi_1,\phi_2)$ было бы неопределенным, поскольку оно содержало бы несколько $\delta(0)=\infty$ факторы. Поэтому в данном контексте обозначение $\tilde \phi(p)$ должен иметь значение, отличное от стандартного; значение, которое не включает дельты Дирака на оболочке, чтобы избежать факторов $\delta(0)=\infty$ . $\delta(p^2-m^2)$ в определении $(\phi_1,\phi_2)$ уже ставит $p$ on-shell, поэтому было бы излишним включать еще одну дельту в $\tilde\phi(p)$ .

Представляется, что в этом контексте $\tilde\phi(\omega_{\vec p},\vec p)$ это всего лишь синоним $a(\vec p)$ :

\tilde{ф} (п) дельта (п^{0} - ю_{\vec{п}}) \equiv а (\vec{п}) дельта (п^{0} - ю_{\vec{п}})

$\tilde\phi(p)\delta(p^0-\omega_{\vec p})\equiv a(\vec p)\delta(p^0-\omega_{\vec p})$

С этим и с использованием (см. этот пост PSE )

дельта (п^{2} - м^{2}) Θ (п_{0}) г п^{0} "=" \frac{1}{2 ю (\vec{п})} дельта (п^{0} - ю_{\vec{п}}) г п^{0}

$\delta(p^2-m^2) \Theta(p_0)\,\mathrm dp^0=\frac{1}{2\omega(\vec p)}\delta(p^0-\omega_{\vec p})\,\mathrm dp^0$ Вы получаете

\begin{aligned} {Вопрос}^{мю} & "=" \frac{1}{2} \int дельта (п^{2} - м^{2}) ε (п^{0}) п^{мю} {\tilde{ф}}^{*} (- п) \tilde{ф} (п) г п \\ "=" \int \frac{1}{2 ю (\vec{п})} п^{мю} {\tilde{ф}}^{*} (- ю_{\vec{п}}, - \vec{п}) \tilde{ф} (ю_{\vec{п}}, \vec{п}) г \vec{п} \\ "=" \int п^{мю} а^{*} (\vec{п}) а (\vec{п}) \tilde{г п} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} Q^\mu &= \frac{1}{2}\int \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p^0)p^\mu\tilde{\phi}^*(-p)\tilde{\phi}(p)\,\mathrm dp\\ &=\int \frac{1}{2\omega(\vec p)} p^\mu\tilde{\phi}^*(-\omega_{\vec p},-\vec p)\tilde{\phi}(\omega_{\vec p},\vec p)\,\mathrm d\vec p\\ &=\int p^\mu a^*(\vec p)a(\vec p)\,\widetilde{\mathrm dp} \end{aligned} \end{equation}$ где

\tilde{г п} \equiv \frac{1}{2 ю (\vec{п})} г \vec{п}

$\widetilde{\mathrm dp}\equiv \frac{1}{2\omega(\vec p)}\mathrm d\vec p$ является лоренц-инвариантной мерой.

Обратите внимание, что $Q^\mu$ согласуется со стандартным выражением для генератора пространственно-временных трансляций с точностью до условного множителя Фурье $(2\pi)^3$ , который обычно входит в $\widetilde{\mathrm dp}$ .

Глупая заметка для всех, кто интересуется: может быть, вы неверно истолковали мою запись, $\varepsilon$ является знаковой функцией. Так $\varepsilon(p_0)=\Theta(p_0)-\Theta(-p_0)$ . Тогда все, что вы написали, верно, за исключением лишнего члена, который, в конце концов, неважен при обычном упорядочении операторов.
@rhetoricalphysicist Я рад, что смог помочь :-) [Кстати, да, я так и думал $\varepsilon$ была ступенчатая функция, так что мой результат был в разы меньше. $\frac12$ ; Я исправил это, надеюсь, теперь все в порядке.]

Ковариантная формула Лоренца для зарядов Нётер в КТП

пользователь78618

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь78618

СлучайныйПреобразование Фурье

Означает ли сохранение энергии сохранение массы?

Почему в качестве сохраняющейся величины используется только третья компонента слабого изоспина?

Физическая интерпретация сохраняющегося заряда уравнения Клейна-Гордона

Скалярное поле дает частицы со спином 000

Проблемы уравнения Клейна-Гордона

Сохраняется ли буст-оператор (в контексте КТП)?

Нетеровские токи для БРСТ-преобразования полей Янга-Миллса

Каким сохраняющимся величинам соответствует генератор конформного преобразования

Квантовая теория поля сохраняющихся величин

Ток Нётер для локального калибровочного преобразования лагранжиана Клейна-Гордона