Ключевым моментом является антикоммутацияϵ
с фермионными полями (ф ,ψ¯,с¯а,са
).
Сначала мы перепишемл
как (для простоты определимБа≡ξ− 1∂мюАамю
)
Л =-14(Фамк ν)2+ψ¯( яγмюДмю− м ) ψ −ξ2БаБа−∂мюс¯аДа бмюсб(1)
что отличается от оригиналал
полной производной,
∂мю(с¯аДа бмюсб)(2)
такдельтал
больше не равно0
, но
дельтаL =-δ∂мю(с¯аДа бмюсб) =∂мю( − δс¯аДа бмюсб) =∂мю( - ϵБаДа бмюсб) ≡∂мюКмю(3)
Мы будем иногда использовать тождество Якоби ,
фа б дфгс д+фб в гфга е+фв д _фгб е= 0(4)
В следующих вычислениях мы будем использовать правую производную . Таким образом, ток Нётер определяется как
ϵДжмю≡∂л∂(∂мюф )дельтаф +∂л∂(∂мюψ¯)дельтаψ¯+∂л∂(∂мюса)дельтаса+∂л∂(∂мюс¯а)дельтас¯а+∂л∂(∂мюАаν)дельтаАаν−Кмю(5)
Теперь рассчитаем отдельные части тока, движущегосяϵ
слева от каждого выражения. Мы получим лишний минус, еслиϵ
проходит фермионное поле,
∂л∂(∂мюф )дельтаψ∂л∂(∂мюψ¯)дельтаψ¯∂л∂(∂мюса)дельтаса∂л∂(∂мюс¯а)дельтас¯а∂л∂(∂мюАаν)дельтаАаν= (ψ¯яγмю) ( я гϵсатаψ ) = ϵграммψ¯γмюсатаψ= 0= ( -∂мюс¯а) ( -12граммϵфа б всбсс) =-12ϵграммфа б в(∂мюс¯а)сбсс= (грамммк νДа бνсб) ( ϵБа) = − ϵ (грамммк νДа бνсб)Базнак равноКмю= ( -Фа μ ν−грамммк νБа) ( ϵДа бνсб) = ϵ ( -Фа μ ν−грамммк νБа) (Да бνсб)(6)
Вставка результатов из( 6 )
а также( 3 )
в( 5 )
дает
Джмю= ( -Фа μ ν−грамммк νБа)Да бνсб−12граммфа б в(∂мюс¯а)сбсс+ гψ¯γмюсатаψ(7)
Нетрудно вывести уравнения движения,
0 =∂л∂Ааν−∂мю∂л∂(∂мюАаν)0 =∂л∂ψ¯−∂мю∂л∂(∂мюψ¯)0 =∂л∂ψ−∂мю∂л∂(∂мюф )0 =∂л∂са−∂мю∂л∂(∂мюса)0 =∂л∂с¯а−∂мю∂л∂(∂мюс¯а)знак равноДа бмюФб мк ν+∂νБа+ гψ¯γνтаф + гфа б в(∂νс¯б)сс= - яγмю∂мюψ - гАамюγмютаф + м ф= - я∂мюψ¯γмю+ гАамюψ¯γмюта− мψ¯знак равноДа бмю∂мюс¯б= -∂мюДа бмюсб(8а-д)
Теперь проверим валидацию∂мюДжмю= 0
,
∂мю[ гψ¯γмюсатаψ ]∂мю[ -12граммфа б в(∂мюс¯а)сбсс]∂мю[ (-Фа μ ν−Баграмммк ν)Да бνсб]знак равно( 8 б , 8 в )− [ гψ¯γνтаψ ]Да дмюсгзнак равно( 4 , 8 д)− [ гфа б в(∂νс¯б)сс]Да дмюсгзнак равно( 8 е )− (∂мюФа μ ν+∂νБа)Да дνсг−Фа μ ν∂мюДа дνсг= - (Да бмюФб мк ν+∂νБа)Да дνсг− ( гфа б вАсмюФб мк ν)Да дνсг−Фа μ ν∂мюДа дνсгзнак равно( 4 )− (Да бмюФб мк ν+∂νБа)Да дνсг(9а-в)
мы получим
∂мюДжмюзнак равно( 9а + 9б + 9в , 8а ) _ _ _ _− (∂л∂Ааν−∂мю∂л∂(∂мюАаν))Да дνсг(10)
Это действительно тождество Нётер вне оболочки , и оно равно нулю, когда выполняются уравнения движения.
Любош Мотл
ППР