Почему в качестве сохраняющейся величины используется только третья компонента слабого изоспина?

Question

Почему в качестве сохраняющейся величины используется только третья компонента слабого изоспина?

Джек

Используя теорему Нётер

\partial_{0} \int г^{3} Икс (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{0} Ψ)} дельта Ψ) "=" 0

$\begin{equation} \partial_0 \int d^3x \left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_0\Psi)} \delta \Psi \right) = 0 \end{equation}$

мы получаем три сохраняющихся квантита $Q_i$ от глобального $SU(2)$ симметрии, так как лагранжиан инвариантен относительно инфинитезимальных преобразований вида $\delta \Psi = i a_i \sigma_i \Psi$ . Сохраняющиеся величины, следующие из свободного дублетного лагранжиана $L= i\bar{\Psi} \gamma_\mu \partial^\mu \Psi$ поэтому

\begin{aligned} {Вопрос}_{я} & "=" я \bar{Ψ} γ_{0} о_{я} Ψ \\ "=" {(\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix})}^{†} \underset{"=" 1}{\underset{⏟}{γ_{0} γ_{0}}} о_{я} (\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} Q_i&= i\bar{\Psi} \gamma_0 \sigma_i \Psi \notag \\ &= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \underbrace{\gamma_0 \gamma_0}_{{=1}} \sigma_i \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \end{align}$

Почему сохраняющиеся величины, следующие из $i=1$ или $i=2$ , никогда не упоминалось или не использовалось? Для $i=1$ у нас есть

\begin{aligned} {Вопрос}_{1} & "=" {(\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix})}^{†} о_{1} (\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix}) \\ "=" {(\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix}) \\ "=" в_{е}^{†} е + е^{†} в_{е} \end{aligned}

$\begin{align} Q_1&= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \sigma_1 \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= v_e^\dagger e + e^\dagger v_e \end{align}$

или для $i=3$ у нас есть

\begin{aligned} {Вопрос}_{3} & "=" {(\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix})}^{†} о_{3} (\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix}) \\ "=" {(\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} в_{е} \\ е \end{matrix}) \\ "=" в_{е}^{†} в_{е} - е^{†} е \end{aligned}

$\begin{align} Q_3&= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \sigma_3 \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0& -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= v_e^\dagger v_e - e^\dagger e \end{align}$

который является обычно используемым третьим компонентом слабого изоспина.

innisfree

подсказка: сколько образующих SU(2) можно одновременно диагонализовать? почему диагональный генератор может привести к более полезному квантовому числу, чем недиагональный?

Джек

S U (2)

$SU(2)$ имеет один генератор Картана. Я не уверен в вашем втором вопросе. Вы имеете в виду, что диагональные операторы могут быть измерены одновременно и, следовательно, только одна из этих трех сохраняющихся величин может быть «измерена» одновременно? Или: Предметы в камзоле, здесь

v_{e}

$v_e$ и

e

$e$ являются только собственными состояниями диагональной образующей. Для других генераторов мы не можем присвоить окончательный номер

v_{e}

$v_e$ и

e

$e$ , потому что они не собственные состояния?

Дрейк Маркиз

Это условность. Все 3 компонента могут быть одинаково выбраны в качестве сохраняемой величины. К сожалению, их нельзя измерить одновременно, поэтому, если вы измерите одно из них и получите его собственное значение, другие не будут зафиксированы. Поэтому принято рассматривать только один компонент.

Ответы (1)

Почему в качестве сохраняющейся величины используется только третья компонента слабого изоспина?

подсказка: сколько образующих SU(2) можно одновременно диагонализовать? почему диагональный генератор может привести к более полезному квантовому числу, чем недиагональный?
$SU(2)$ имеет один генератор Картана. Я не уверен в вашем втором вопросе. Вы имеете в виду, что диагональные операторы могут быть измерены одновременно и, следовательно, только одна из этих трех сохраняющихся величин может быть «измерена» одновременно? Или: Предметы в камзоле, здесь $v_e$ и $e$ являются только собственными состояниями диагональной образующей. Для других генераторов мы не можем присвоить окончательный номер $v_e$ и $e$ , потому что они не собственные состояния?
Это условность. Все 3 компонента могут быть одинаково выбраны в качестве сохраняемой величины. К сожалению, их нельзя измерить одновременно, поэтому, если вы измерите одно из них и получите его собственное значение, другие не будут зафиксированы. Поэтому принято рассматривать только один компонент.

Космас Захос · Answer 1

Вопрос неправильно сформулирован. Теорема Нётер хороша как утверждение о симметрии, но ваш гамбит терпит неудачу. Чтобы заряд, который вы обсуждаете, существовал, он должен аннулировать вакуум теории согласно теореме Фабри-Пикассо . В противном случае он взрывается ~ не существует: отличительная черта SSB. Я так понимаю, вы могли неправильно понять $Q_3$ представлена как сохраняющаяся величина, которой она не является: обратите внимание на токсичный знак минус вместо плюса действительного лептонного числа! (На практике, распространяющийся левый электрон соединяется/трансмутирует в правосторонний слабый изосинглет посредством массового члена, включающего хиггсовское движение. Так сказать, он «поглотил бы некоторое количество $Q_3$ из вакуума РЭБ» — заведомо вычурная карикатура на величину, которая плохо определена!)

В стандартной модели все токи сохраняются, иначе они не согласовывались бы с калибровочными полями; но последний шаг, с которого вы начинаете, т. е. пространственный интеграл текущего нулевого компонента, может существовать или не существовать в соответствии с приведенным выше предостережением.

В СМ конечно заряд ЭМ, линейная комбинация $Q_3+Y$ , где Y — слабый гиперзаряд аннулирует вакуум (поэтому он не нарушен) и, следовательно, существует!

Независимый потенциальный заряд, ток которого соединяется с Z , $Q_3\cos^2 \theta_W-Y \sin^2\theta_W$ , напротив, нет, как и $Q_1,Q_2$ . Вы не видите их записанными, так как немногие лелеют бой с тенью с фантомами.

Редактировать : Но ... вы могли бы обмануть? Когда? Сомневающийся скрипач мог бы возразить, что, по крайней мере, эффективная вершина β-распада Ферми, $G_F~ \bar{n} \gamma_\mu P_L p ~ \bar{\nu} \gamma ^\mu P_L e$ , или ток-ток для мю-распада и т. д., сохраняют некоторые $Q_3$ как прекрасное квантовое число, в конце концов:

{Вопрос}_{3} (н_{л}) "=" {Вопрос}_{3} (п_{л}) + {Вопрос}_{3} ({\bar{ν}}_{е}) + {Вопрос}_{3} (е_{л}) "=" 1 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2 "=" - 1 / 2,

$Q_3(n_L)=Q_3(p_L)+Q_3(\bar{\nu}_e)+Q_3(e_L)= 1/2 -1/2 -1/2=-1/2,$

Q_{3} (μ) = Q_{3} (e) + Q_{3} (ν_{μ}) + Q_{3} ({\bar{ν}}_{e})

$Q_3(\mu)=Q_3(e)+Q_3(\nu_\mu )+Q_3(\bar{\nu}_e)$ , и так далее. И это не случайно. Может ли кто-нибудь

Q_{3}

$Q_3$ может быть еще полезен в качестве приближенного закона сохранения?

В самом деле, лагранжиан EW сам по себе и его эффективные аватары действительно обладают SU(2) _L - симметрией, как указано, и, если не задействована связь Хиггса , ожидается, что вершины будут соблюдать эту симметрию на каком-то уровне. Тем не менее, любое взаимодействие Хиггса подвержено загрязнению SSB, например, в распространении фермионов, показанном выше, что нарушает симметрию. Тогда ответ будет «с осторожностью» — предостерегите скрипача. Судебно-медицинское устранение последствий заражения бозоном Хиггса было бы рискованным искусством.

Почему в качестве сохраняющейся величины используется только третья компонента слабого изоспина?

Джек

innisfree

Джек

Дрейк Маркиз

Ответы (1)

Космас Захос

Скалярное поле дает частицы со спином 000

Ковариантная формула Лоренца для зарядов Нётер в КТП

Нетеровские токи для БРСТ-преобразования полей Янга-Миллса

Каким сохраняющимся величинам соответствует генератор конформного преобразования

Первая и вторая теоремы Нётер.

Квантовая теория поля сохраняющихся величин

Входит ли в неабелеву калибровочную теорию обычная или ковариантная производная в утверждение о сохранении тока?

Должны ли все симметрии иметь последствия?

Предположения вне оболочки и на оболочке при выводе теоремы Нётер

Как квантово-механически проявляется сохранение энергии?