В связи с этим вопросом.
Что нужно показать, так это то, что полный угловой момент (полученный из лагранжиана Клейна-Гордона), действующий на кет с импульса, дает 0. Это означало бы, что скалярная теория поля не порождает собственного углового момента, т.е. спина .
Вывод в приведенном выше вопросе основан на том, что я уже нашел в заметках Дэвида Тонга, но все они происходят из квантования классического сохраняющегося заряда, связанного с лоренц-инвариантностью: т.е.
Не говоря уже о том, что я все еще не уверен в некоторых математических расчетах (см. мой вопрос здесь ), почему мы ожидаем, что спин будет включен в классически сохраняющийся (полный) импульсный заряд ?
Каждое релятивистское поле (не обязательно квантовое) должно быть лоренц-ковариантным объектом. Это означает, что его можно представить в виде прямой суммы неприводимых представлений группы Лоренца. Неприводимые представления группы Лоренца отмечены двумя числами (это означает, что объект преобразуется как n раз ковариантный тензор и m раз контравариантно относительно преобразований группы Лоренца), а сумма относится к собственному значению оператора группа.
Таким образом, даже если вы не вводите КМ, вы получите «спиновое» слагаемое в токе Нётер, связанное с инвариантностью соответствующего лагранжиана относительно преобразования Лоренца вашего поля. После внедрения QFT вы сможете подключиться с физической наблюдаемой величиной: это собственное значение является собственным значением генератора вращений. Если затем расширить свое поле в прямой сумме иррепрезентаций группы Лоренца и отсечь все представления, кроме , осталось только компоненты, вы сможете представить частицы с заданной массой и определенным спином по этому полю.
Но до введения КТП слагаемое "спин" в токе Нётер не имеет ясного смысла.
любопытный разум