Ток Нётер для локального калибровочного преобразования лагранжиана Клейна-Гордона

Комментарий к вопросу (v4): ОП говорит о локальном сложном фазовом преобразовании для теории комплексного массивного скаляра (КГ). Но общее локальное комплексное фазовое превращение не является квазисимметрией.$^1$действия КГ, и, следовательно, теорема Нётер (2-я) неприменима.

--

$^1$Бесконечно малое преобразование$\delta$является квазисимметрией, если плотность лагранжиана${\cal L}$сохраняется$\delta {\cal L}= d_{\mu} f^{\mu}$по модулю полного пространственно-временного расхождения вне оболочки, ср. этот ответ Phys.SE. Если полная пространственно-временная дивергенция$d_{\mu} f^{\mu}$является нулем вне оболочки, мы говорим о симметрии.

Для локального калибровочного преобразования$\delta \phi = i \alpha(x)\phi$, и$\delta \phi^*=-i\alpha(x)\phi$.

Эти уравнения означают$\delta(\partial_{\mu}\phi)=i(\partial_{\mu} \alpha)\phi+i \alpha (\partial_{\mu}\phi)$и$\delta(\partial_{\mu}\phi^*)=-i(\partial_{\mu} \alpha)\phi^*-i \alpha (\partial_{\mu}\phi^*)$

Поэтому,$\delta \mathcal{L}=\delta(\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi^*)-m^2 \delta(\phi* \phi)=\partial_{\mu}\alpha J^{\mu}$, где$J^{\mu}=i(\phi \partial^{\mu}\phi^*-\phi^* \partial^{\mu}\phi)$

Параметр$\delta S=\int \delta \mathcal{L}=0$, получается$\partial_{\mu}J^{\mu}=0$