Ковариантная производная против частной производной (в контексте векторов Киллинга)

В вашем уравнении нет$p$постоянна, но компонент(ы)$p$. Это некоординатно-инвариантное утверждение, потому что сами координаты изменяются по мере того, как вы перемещаетесь по многообразию, поэтому, изменяются ли компоненты векторного/тензорного поля (и как они изменяются), не дает никакой информации о том, изменяется ли фактическое векторное/тензорное поле изменяется или нет.

В некоторых случаях (когда ваш коллектор не снабжен метрикой или связью) даже невозможно отделить «истинную» скорость изменения от «кажущейся» скорости изменения.

Если это теоретически возможно, значит, у вас есть связь.$\nabla$.

В этом случае полное изменение величины может быть записано символически как

$$dY=\nabla Y+\delta Y,$$ на некоторое количество $Y$где $\nabla Y$является «истинной» или «физически/геометрически» значимой скоростью изменения и $\delta Y$- это «кажущаяся» скорость изменения из-за того, как система координат смещается.

Анализируя алгебраические свойства дифференциальных операторов первого порядка, можно понять, что$\delta$должен быть дифференциальным оператором нулевого порядка, то есть, по существу, точечно-линейным преобразованием, которое мы записываем как$-\Gamma$. Итак, у нас есть

$$\nabla Y=dY+\Gamma Y.$$

По существу, я ввел ковариантную производную. Дело в том, что почти всегда$\nabla$который нас интересует, тот факт, что в некоторой системе координат$p^\beta$может быть постоянным, не имеет никакого значения. Если вы переключитесь на другую систему координат, она не будет постоянной. Что вас интересует, так это инвариантная к координатам производная, которая в данном случае равна

$$u^\alpha\nabla_\alpha p^\beta .$$

Я думаю, что ответ Ульдрета уже дал ключевые моменты.

К сожалению, ответ Бинго на его собственный вопрос неверен.$p^\beta$не скаляр, это компонент вектора . Это потому, что если я сделаю преобразование координат,$p^\beta$изменится с помощью обычной формулы, а скаляр - нет. Следовательно, ковариантная производная в этом случае не сводится к частной производной.

Существенной ошибкой в ​​выводе Бинго является принятие «обычного» цепного правила. Это понятная ошибка, связанная с тонкими обозначениями. В данном контексте,$\frac{d}{d\tau}$означает «производная по направлению вдоль геодезической» (как указано в ссылке, цитируемой ОП, Кэрролл, стр. 136). Если$U^\mu$- четыре скорости геодезической, то по определению:

$$\frac{d}{d\tau}=U^\mu \nabla_\mu$$ Это то же самое, что написал OP, если объект, на который он действует, является скаляром; однако это не так.

Путаницы можно избежать, избегая этого обозначения. Как и у Кэрролла, стр. 136, экв. (3.174) можно просто сказать, что:

$$\nabla_{(\mu}K_{\nu)} = 0 \implies U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$ (Кэрролл на самом деле использует $p^\mu=mU^\mu$, но это не беда) То есть, если $K_{\nu}$убивает, то $K_\nu U^\nu$постоянна вдоль геодезической.

Однако следует отметить, что$K_\nu U^\nu$ действительно является скаляром. Так что в этом случае верно, что

$$U^\mu \partial_\mu (K_\nu U^\nu)=U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$ Это может помочь устранить путаницу ОП.

Теперь ОП также спрашивает, почему мы используем ковариантную производную, а не другие понятия производной. В этом случае, поскольку мы заинтересованы в том, чтобы скаляр был постоянным, мы можем выразить то же самое понятие, например, с производной Ли:

$$\mathcal{L}_U (K_\nu U^\nu) = U^\mu \partial_\mu (K_\nu U^\nu)=U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$

Однако в общем случае понятие объекта, остающегося постоянным вдоль кривой, задается параллельным переносом , который зависит от метрики. Кэрролл обсуждает этот вопрос на стр. 105. В конечном счете, это причина, по которой нам вообще нужно использовать ковариантную производную. Однако, если объект, который вы рассматриваете, действительно является скаляром, то они совпадают, и проблем нет.

Приведенный альтернативный вывод, по-видимому, не имеет ничего неправильного . В конце концов, то, что вы использовали, было стандартными методами исчисления (например, цепное правило). Конфликт можно легко разрешить, заметив, что мы определяем действие ковариантной производной на скаляры (функции) так же, как частную производную (стр. 96 Шона Кэрролла или любой другой текст).

Более тонкий момент заключается в том, что здесь$p^{\beta}$рассматривается как скаляр (снова см. Шона Кэрролла: стр. 136), несмотря на появление его тензорного индекса. Эти два вышеуказанных пункта помогают нам прийти к выводу$\nabla_{\alpha} p^{\beta}= \partial_\alpha p^{\beta}$.

Обозначения Кэрролла немного отличаются тем, что он использует нижние индексы вместо верхних и$\sigma_{\star}$вместо$\beta$. В основном он работает с$p_{\sigma_\star}$вместо$p^{\beta}$.

Как может$p^{\beta}$рассматриваться как скаляр? Здесь смысл$p^{\beta}$является тонким. Это означает следующее. Выберите систему координат, которая имеет хотя бы одну координату$x_\beta$такой, что$\partial_\beta g_{\mu \nu} = 0$. Теперь давайте определим скаляр$S$значение которого в точности равно$p^{\beta}$. Таким образом, значение$S$не меняется по отношению. изменение координат. Когда Шон Кэрролл использует$p_{\sigma_{\star}}$(или$p^{\beta}$в вопросе выше), он имеет в виду '$S$', как определено выше. Вот почему он вводит странный$\sigma_{\star}$индекс (просто для того, чтобы означать, что система координат и координата фиксированы: та, относительно которой метрика не меняется).