Физический смысл векторного поля Киллинга вдоль геодезической

В общем, если$\xi^\mu$векторное поле Киллинга в пространстве-времени, и если$u^\mu$является касательным полем вдоль геодезической в ​​этом пространстве-времени, то$\xi_\mu u^\mu$— сохраняющаяся величина вдоль геодезической. (См., например, предложение Wald's GR C.3.1).

Чтобы проиллюстрировать физический смысл этого, рассмотрим частицу, движущуюся в$2$-мерное пространство Минковского с метрикой

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2.$$

Эта метрика допускает убивающие векторы$\xi_{(t)} = (1,0)$и$\xi_{(x)} = (0,1)$. Отсюда следует, что для геодезической$(t(\lambda),x(\lambda))$с касательной$u^\mu(\lambda)=(dt/d\lambda, dx/d\lambda)$, получаем две сохраняющиеся величины

$$\xi_{(t)}^\mu u_\mu = -\frac{dt}{d\lambda}, \qquad \xi_{(x)}^\mu u_\mu = \frac{dx}{d\lambda}$$ Если мы представим, что наша геодезическая представляет собой путь частицы массы $m$через пространство-время, то если мы выберем параметр $\lambda$быть длиной дуги, которая для времениподобных кривых называется собственным временем $\tau$, а именно, если мы выберем $$-1 = u^\mu u_\mu = \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2$$ затем $p^\mu = m u^\mu$- четырехимпульс частицы, а уравнение сохранения, полученное из $\xi_{(t)}$дает сохранение $p^t = m u^t$, которая представляет собой энергию частицы, и уравнение сохранения, полученное из $\xi_{(x)}$дает сохранение $p^x = m u^x$что является импульсом частицы.

Таким образом, в этом контексте векторы Киллинга данной метрики давали сохраняющиеся величины, которые можно интерпретировать как энергию и импульс частицы, свободно движущейся в плоском пространстве-времени.