Геодезические и спонтанно нарушенная симметрия

у меня есть пространство-время ( М , г ) и набор дискретных симметрий С α : М → М . Даны две фиксированные точки п 0 , п 1 е М с С α ( п я ) "=" п я Я хочу доказать, что геодезическая, соединяющая две точки, состоит только из неподвижных точек.

Очевидно, что в общем случае это неверно: например, возьмем повороты 2-сферы как симметрию, которая оставляет два полюса неизменными. Геодезические — это большие окружности, все они имеют одинаковую длину и накладываются друг на друга. Однако, если мы рассмотрим полное 3d-пространство с вращениями, то кратчайшее расстояние на самом деле инвариантно относительно вращений, потому что это прямая линия, соединяющая два полюса.

В некотором смысле в первом случае симметрия самопроизвольно нарушается. Есть ли способ различить два случая? В частности, если я нахожу геодезическую, инвариантную относительно преобразований симметрии, есть ли общий аргумент, что другие, которые не соблюдают эту симметрию, должны быть длиннее (только локально кратчайшие геодезические).

Ответы (1)

В классической механике спонтанное нарушение симметрии соответствует случаю, когда гамильтониан инвариантен относительно симметрии, а начальные условия — нет.

Приведенные в вопросе примеры действительно (и в строгом смысле) соответствуют спонтанно нарушенной и ненарушенной вращательной симметрии вокруг г оси, как указано в вопросе и как будет выяснено ниже.

В случае (нерелятивистского) геодезического движения (массивной частицы) гамильтониан можно принять как:

ЧАС "=" м 2 г я Дж ( Икс ) п я п Дж
( г это метрика, Икс это позиция, п есть импульс) Этот гамильтониан инвариантен относительно любого вращения вокруг г ось как для круглой двусферы, так и для объемлющего трехмерного пространства. (В вопросе упоминается дискретная симметрия, которой может быть взята любая дискретная подгруппа U ( 1 ) группа вращений вокруг г оси, но обсуждение справедливо для всего непрерывного U ( 1 ) группа вращений вокруг г ось) . Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что гамильтониан Пуассона коммутирует с генератором г вращения:
л г "=" п Икс у − п у Икс
(В случае сферы компоненты не являются независимыми).

Уравнение геодезии второго порядка, для него нужно 2 начальных условия: положение и импульс. Чтобы симметрия не нарушалась спонтанно, и начальное положение, и импульс должны быть инвариантны относительно симметрии. Теперь мы можем увидеть разницу между двумя случаями: (Предположим, что мы начинаем с Южного полюса)

В случае сферы не существует возможного начального импульса, инвариантного относительно вращения вокруг оси. г оси, так как импульс касается сферы, следовательно, параллелен Икс − у самолет.

В случае трех пространств есть одна возможность, в которой начальный импульс параллелен линии, соединяющей Южный полюс с Северным полюсом. В этом случае полный набор начальных условий инвариантен относительно симметрии и симметрия не нарушается. Следовательно, каждая точка геодезической инвариантна относительно симметрии . (Все остальные варианты начальных импульсов приведут к нарушению симметрии, как и в случае со сферой).

Геодезические и спонтанно нарушенная симметрия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v