Ковариационная матрица после проекции на гауссово состояние

Я не могу понять доказательство в статье Эйзерта ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0204052 ) о нахождении ковариационной матрицы состояния после проецирования некоторых его мод на гауссово состояние.

У нас есть характеристическая функция остальных (непроецируемых) мод, равная

х ( ξ А ) "=" 1 π 2 ∫ д ξ 5 … д ξ 8 е − ξ Т Г ′ ξ / 2 е − ξ Б Т γ ξ Б
где ξ "=" ( ξ А , ξ Б ) , этикетки А и Б относящийся соответственно к подсистеме, которая «остается», и к подсистеме, которая проецируется в гауссово состояние с ковариационной матрицей γ "=" д я а г ( 1 / д , д , 1 / д , д ) и где
Г ′ "=" ( С 1 С 3 С 3 Т С 2 )
Затем он утверждает, что результирующая ковариационная матрица после интегрирования равна
М д "=" С 1 − С 3 ( С 2 + γ 2 ) − 1 С 3 Т
но я понятия не имею, как ему удается проводить интеграцию, так как срок ξ Г ′ ξ имеет смешанные термины в этом чтении ξ Б Т С Т ξ А и ξ А Т С ξ Б и я не знаю, как их лечить.

Любой намек?

Разве нельзя просто заполнить квадраты для переменных A и B соответственно?
Я смотрю на ту же статью, и меня смущают обозначения. В Г ′ , мне кажется С 1 соответствует режимам А 1 и Б 1 упоминается в статье. Это верно? Т.е. в ваших введенных здесь обозначениях С 1 связано ли это с остальными режимами (которые на самом деле есть у двух партий, упомянутых в статье)? Это кажется странным, так как до того, как основа для всех выражений, по-видимому, была зафиксирована на ( А 1 , А 2 , Б 1 , Б 2 ) пока Г ′ вроде в базе написано ( А 1 , Б 1 , А 2 , Б 2 ) .

Ответы (1)

Как предложил @flippiefanus, это случай завершения квадрата. (Или, как вариант, это известная формула интегрирования по Гауссу, но это немного похоже на мошенничество)

Если я не ошибаюсь, вы сделали опечатку в своем первом уравнении, то есть в уравнении (8) в статье Эйзерта, Шееля, Пленио. Вы должны заменить γ к γ 2 2 . У нас есть тогда

х ( ξ А ) "=" 1 π 2 ∫ д ξ Б опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т С 1 ξ А − 1 2 ξ Б Т С 3 Т ξ А − 1 2 ξ А Т С 3 ξ Б − 1 2 ξ Б Т ( С 2 + γ 2 ) ξ Б ) "=" опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т С 1 ξ А ) π 2 ∫ д ξ Б опыт ⁡ ( − 1 2 ξ Б Т С 3 Т ξ А − 1 2 ξ А Т С 3 ξ Б − 1 2 ξ Б Т ( С 2 + γ 2 ) ξ Б ) .
Идея состоит в том, чтобы выразить аргумент подынтегральной функции как − 1 2 ( ξ Б + Δ ) Т М ( ξ Б + Δ ) + 1 2 Δ Т М Δ , « + Δ перевод ξ Б не имеет значения при интеграции. Это выражение становится
− 1 2 ξ Б Т М Δ − 1 2 Δ Т М ξ Б − 1 2 ξ Б Т М ξ Б
что при отождествлении с аргументом экспоненты приводит к
М "=" С 2 + γ 2 М Δ "=" С 3 Т ξ А Δ Т "=" ξ А Т С 3 М − 1 "=" ξ А Т С 3 ( С 2 + γ 2 ) − 1

У нас есть тогда

х ( ξ А ) "=" опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т С 1 ξ А ) π 2 ∫ д ξ Б опыт ⁡ ( − 1 2 ( ξ Б + Δ ) Т М ( ξ Б + Δ ) + 1 2 Δ Т М Δ ) "=" опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т С 1 ξ А + 1 2 Δ Т М Δ ) π 2 ∫ д ξ Б опыт ⁡ ( − 1 2 ( ξ Б + Δ ) Т М ( ξ Б + Δ ) ) "=" опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т С 1 ξ А + 1 2 Δ Т М Δ ) π 2 ∫ д ξ Б опыт ⁡ ( − 1 2 ξ Б Т М ξ Б ) ⏟ скаляр, не зависящий от  ξ А ∝ опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т С 1 ξ А + 1 2 ξ А Т С 3 ( С 2 + γ 2 ) − 1 С 3 Т ξ А ) "=" опыт ⁡ ( − 1 2 ξ А Т ( С 1 + С 3 ( С 2 + γ 2 ) − 1 С 3 Т ) ⏟ М д ξ А )

Эй, Фредерик, не могли бы вы объяснить, где площадь на γ происходит от. В статье говорится, что проецируемое состояние имеет ковариационную матрицу γ но потом в гауссовском интегрировании вдруг γ 2 оказывается в экспоненте. Это не имеет смысла для меня.
Ковариационная матрица после проекции на гауссово состояние
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v