Обнаружение гомодина как квантовое измерение

Я думаю, что ваше замешательство основано на недоразумении: гомодинное обнаружение не измеряет напрямую$\langle q \rangle$, но значение оператора$\hat q$, проецируя состояние на одно из его собственных состояний, бесконечно сжатое состояние.

Это становится очевидным, когда вы используете гомодинное обнаружение с временным разрешением, необходимое для протокола квантовой связи, такого как распределение квантового ключа с непрерывной переменной. Первый шаг в использовании такого обнаружения — откалибровать его на вакууме: вы ничего не отправляете — это состояние вакуума.$\lvert0\rangle$— много раз в ваше гомодинное обнаружение и ведите статистику. Если все работает правильно, ваш результат будет распределен по закону Гаусса, а его дисперсия (без учета электронного шума) будет дисперсией вакуума.$\Delta Q=1$, а в среднем должно быть$\langle q \rangle=0$.

Во многих случаях экспериментатор в области квантовой оптики заботится только о дисперсии, например, чтобы показать, что она ниже единицы, чтобы доказать сжатие, и по практическим причинам использовать гомодинное обнаружение с частотным разрешением. В этом случае вычисление среднего значения и дисперсии часто выполняется аналогично анализатором спектра, что приводит к злоупотреблению языком и обозначениями, говоря:$\langle q\rangle$вместо$\hat q$, потому что, когда вы можете измерить$\hat q$, часто можно измерить$\langle q \rangle$, частота повторения часто достаточно высока, чтобы статистические данные эффективно собирались «мгновенно». Я подозреваю, что этот ярлык является источником вашего замешательства.

Хороший вопрос. Честно говоря, я никогда не задумывался о том, что гомодинное измерение является в каком-то смысле «косвенным» измерением квадратуры. Даже если я относительно новичок, я постараюсь ответить.

Прежде всего, я думаю, вам следует изменить свое представление о квантовых измерениях. Предположим, у нас есть квантовая система в состоянии$|\psi\rangle$. Мы можем интерпретировать (статистическое) среднее значение наблюдаемого$A$, т.е.$<A>=\langle\psi|A|\psi\rangle$как среднее значение результатов измерения$A$на множестве независимо подготовленных состояний$|\psi\rangle$. Другими словами, вы должны думать о$<A>$как статистический показатель. Ваше видение — это оперативная интерпретация$<A>$, что является математической величиной.

Давайте теперь вспомним принцип гомодинного обнаружения, который состоит из светоделителя (с коэффициентами пропускания и отражения$t$и$r$) и два детектора фотонов. Предположим теперь простой несбалансированный гомодин. Состояние на входных портах задается:$|\phi\rangle=|\psi\rangle_1|\alpha_0\rangle_2$где состояние на втором порту является когерентным состоянием, генерируемым сильным лазерным лучом. На картинке Гейзенберга числовой оператор в первом выходном порту задается следующим образом:

$${n_1}'=|t|^2{n_1}+|r|^2{n_2}+t^*ra_1^{\dagger}a_2+r^*ta_2^{\dagger}a_1$$ где$n_1,n_2,a_1,a_2$— числовые операторы и операторы уничтожения соответственно первого «порта» и второго «порта». Вы должны знать этот результат. Теперь, учитывая совместное состояние$|\phi\rangle$, вы можете вычислить$<n_1'>$, и используя предположение о сильном лазерном луче (т.е.$|\alpha_0|^2\gg\langle\psi|n_1|\psi\rangle)$, вы узнаете, что: $$<n_1'>=\langle\phi|n_1'|\phi\rangle = |r|^2|\alpha_0|^2 + \kappa\langle\psi|q_1|\psi\rangle$$ где$\kappa$некоторая постоянная и$q_1$– позиционная квадратура состояния на первом порту БС (точнее, поворот этой квадратуры, но это сейчас не имеет значения). Если теперь использовать фотодиод, выходной ток$i_D\propto<n_1'>.$Теперь вы правы, говоря, что мы не измеряем$q_1$. Действительно, эффективное$<q>$заложен в вариации$<n_1'>$. Однако вы должны интерпретировать это в статистическом представлении. Полученный результат можно перефразировать следующим образом

Среднее значение (простого) гомодинного измерения, выполненного на наборе независимо подготовленных состояний.$|\psi\rangle$, дан кем-то$<n_1'>$.

В заключение мы можем синтезировать следующим образом.$n_1'$является наблюдаемой, и ее собственные векторы являются векторами Фока. Светоделитель воздействует на входное состояние, чтобы создать выходное состояние, вероятности которого (в базисе Фока) несколько «пропорциональны» квадратурным значениям входного состояния. Точнее, его среднее значение точно пропорционально среднему значению квадратуры$a$. Это ни в коем случае не интуитивно, но верно, поскольку доказано математически («Заткнись и вычисляй» видение QM).