Красное смещение из-за статического гравитационного поля и сохранения энергии [дубликат]

В статическом пространстве-времени существует (по определению) времениподобное векторное поле Киллинга$\xi^\mu$, откуда следует, что геодезические с четырьмя скоростями$u^\nu$иметь сохраняющееся количество$\epsilon = -g_{\mu\nu}\xi^\mu u^\nu$. Например, в пространстве-времени Шварцшильда это

$$\epsilon = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}\text{,}$$ где $\lambda$— произвольный аффинный параметр геодезической. Это правильное обобщение сохранения орбитальной энергии в общерелятивистском контексте.

Для массивной частицы в пространстве Шварцшильда, за которую можно принять$\lambda$быть подходящим временем$\tau$, это приводит к прямому аналогу ньютоновской орбитальной энергии с поправкой на дополнительную$r^{-3}$срок, вплоть до понимания того, что Шварцшильд$r$и$\tau$имеют несколько иной смысл, чем в ньютоновской теории:

$$\text{const} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{l^2}{r^2} - \frac{GM}{r} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ где $l = r^2(\sin^2\theta)(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}\tau)$- удельный угловой момент, еще одна сохраняющаяся величина для пространства-времени Шварцшильда. Первые два члена составляют ньютоновскую кинетическую энергию на массу, разложенную на радиальную и угловую составляющие.

Для безмассовой частицы это немного отличается:

$$\epsilon^2 = \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + \frac{l^2}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\text{.}$$

В ОТО нет гравитационной энергии, поэтому фотон не обменивал «энергию света» с потенциальной энергией.

Но в статическом пространстве-времени мы всегда можем определить сохраняющуюся полную орбитальную энергию для геодезических.

---

Я только что прочитал вывод ваших формул в книге Carrolls GR. Вы получаете сохраняющиеся количества, но на самом деле не точный термин энергии. Вы получаете что-то вроде энергии на единицу массы. Превратить это в энергию кажется критически важным, поскольку масса фотона равна нулю (и мы рассматриваем фотоны в этом примере). Математически у нас есть сохраняющаяся величина, но я не понимаю, как мы определяем, что это действительно энергия, а не что-то еще.

Сохраняющаяся величина, порожденная инвариантностью к переносу во времени, - это то, как сохранение энергии работает в современной физике; в этом мораль теоремы Нётер и геометрический смысл наличия времяподобного векторного поля Киллинга.

Обладание удельной энергией (т. е. удельной массой) — это именно то, как работает гравитационный потенциал даже в ньютоновской теории, и даже для фотона его можно интерпретировать как относительный к энергии в бесконечности или адаптировать к шкале, установленной в любом месте на орбите, для это важно. С практической точки зрения это в точности удельная энергия, измеренная семейством статических наблюдателей (сопутствующих векторному полю Киллинга), поскольку скалярное произведение с четырьмя скоростями дает относительный фактор Лоренца или, что то же самое, временную составляющую единицы в локальная инерциальная система отсчета, сопутствующая другой.

Я посылаю синий фотон моему другу, который находится на х метров выше меня в какой-то башне (мы оба покоимся друг относительно друга). Он измеряет фотон и обнаруживает, что он красный. Мы оба пришли к выводу, что произошло гравитационное красное смещение. Однако куда делась энергия?

Это никуда не делось. Восходящий фотон не потерял никакой энергии. Не существует волшебного таинственного механизма, благодаря которому фотон E=hf «устает» и теряет энергию. Ваш друг измерил, что фотон имеет более низкую частоту, чем ваша, потому что его часы идут быстрее, чем ваши. Из-за гравитационного замедления времени. Важно отметить, что гравитационная энергия связана не с фотоном, теряющим энергию при восхождении. Дело в том, что фотон излучается на более низкой частоте. См. Эйнштейн, говорящий, что здесь :

«Атом поглощает или излучает свет с частотой, которая зависит от потенциала гравитационного поля, в котором он находится».

В ОТО нет гравитационной энергии, поэтому фотон не обменивал «энергию света» с потенциальной энергией.

Правильный. Фотон — это «вся кинетическая энергия». Нет преобразования кинетической энергии в потенциальную. При этом восходящий фотон не замедляется. Вместо этого он ускоряется . См. Эйнштейн, говорящий о скорости света, изменяющейся в зависимости от положения здесь :

«Как показывает простое геометрическое рассмотрение, искривление световых лучей происходит только в пространствах, где скорость света пространственно переменна» .

Я нашел несколько тем об этом, но часто они рассматривали эту тему с космологической точки зрения, где метрика действительно зависит от времени, и поэтому Нётер не работает, чтобы аргументировать сохранение энергии. Аргументы без космологии использовали объяснение через потенциальную энергию (насколько мне известно, в ОТО этого нет). Итак, поскольку метрика все еще не зависит от времени, энергия должна сохраняться согласно Нётеру. Что происходит?

Энергия сохраняется. Если вы отправите фотон с энергией 511 кэВ в черную дыру, масса черной дыры увеличится на 511 кэВ/c². Нисходящий фотон не получил никакой энергии. Восходящий фотон не теряет его. Любой, кто говорит вам обратное, ошибается. Обновление Альфреда Центавра в предполагаемом дубликате верно.

Это также можно рассматривать как причину, по которой нельзя превратить фотоны в материю (и наоборот) без потери энергии.

Когда вы превращаете фотоны в материю и наоборот посредством образования пар и их аннигиляции, энергия сохраняется. Я не знаю ни одной ситуации, в которой энергия не сохраняется. Если кто-то еще делает, я был бы рад услышать об этом.