Квантование Риндлера-Фуллинга - расширение ϕϕ\phi по моде Риндлера: почему мы игнорируем клинья прошлого и будущего?

Question

Квантование Риндлера-Фуллинга - расширение ϕϕ\phi по моде Риндлера: почему мы игнорируем клинья прошлого и будущего?

Физика
причинность
unruh-эффект
метрический тензор
общая теория относительности
qft-в-искривленном-пространстве-времени

QuantumEyedea

Я следую главе 2 книги Такаги « Вакуумный шум и напряжение, вызванные равномерным ускорителем» . Я нахожусь в точке выполнения квантования Риндлера-Фуллинга реального скалярного поля, где вы расширяете $\phi$ с точки зрения мод Риндлера в левом и правом клиньях - я озадачен тем, почему вы полностью игнорируете вклады в поле в будущих и прошлых клиньях. Укажем, чтобы размерность 4 была конкретной.

Пространство Минковского разделено на четыре области:

Правый клин Риндлера: р_{+} "=" {({Икс}^{0}, {Икс}^{1}, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) е р^{4} | {Икс}^{1} > | {Икс}^{0} |} Левый клин Риндлера: р_{-} "=" {({Икс}^{0}, {Икс}^{1}, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) е р^{4} | {Икс}^{1} < - | {Икс}^{0} |} Будущий клин: Ф "=" {({Икс}^{0}, {Икс}^{1}, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) е р^{4} | {Икс}^{0} \geq | {Икс}^{1} |} Прошлый клин: п "=" {({Икс}^{0}, {Икс}^{1}, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) е р^{4} | {Икс}^{0} \leq - | {Икс}^{1} |}

$\text{Right Rindler Wedge:}\ \ \ \mathcal{R}_{+} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^1 > |x^0| \right\} \\ \text{Left Rindler Wedge:}\ \ \ \mathcal{R}_{-} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^1 < - |x^0| \right\} \\ \text{Future Wedge:}\ \ \ \mathcal{F} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^0 \geq |x^1| \right\} \\ \text{Past Wedge:}\ \ \ \mathcal{P} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^0 \leq -|x^1| \right\}$

Напомним, что координаты Риндлера $(\eta, \xi, x^2, x^3)$ связаны с прямоугольными координатами Минковского $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ через преобразование:

{Икс}^{0} "=" ξ грех (η), {Икс}^{1} "=" ξ чушь (η)

$x^0 = \xi \sinh(\eta)\ , \ \ \ \ \ \ x^1 = \xi \cosh(\eta)$ Координаты

(η, ξ, x^{2}, x^{3})

$(\eta,\xi,x^2,x^3)$ только покрытие

R_{+}

$R_{+}$ и

R_{-}

$R_{-}$ .

Один решает уравнение Клейна-Гордона $(\Box_{x} - m^2)r_{\mathbf{k}}(x) =0$ для функций режима Риндлера $r_{\mathbf{k}}$ (где $\mathbf{k} = (\Omega,k_2,k_3) \in (0,\infty) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ - параметры моды) с ограничением, что они имеют положительную частоту по отношению ко времени Риндлера $\eta$ , т.е. Это значит, что $\frac{\partial}{\partial \eta} r_{\mathbf{k}} = - i \omega r_{\mathbf{k}}$ для некоторых $\omega > 0$ (принимая $r_{\mathbf{k}}^{\ast}$ дает вам моды с отрицательной частотой).

Обнаружится, что вам нужно отдельное решение для каждого из клиньев Риндлера: Итак, у вас есть моды с положительной частотой. $r^{+}_{\mathbf{k}}$ в $\mathcal{R}_{+}$ , и моды с положительной частотой $r^{-}_{\mathbf{k}}$ в $\mathcal{R}_{-}$ . Немного более явно вы найдете:

р_{к}^{+} (η, ξ, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) "=" {\begin{cases} ф_{к}^{+} (ξ) е^{- я Ом η + я к_{2} {Икс}^{2} + я к_{3} {Икс}^{3}}, Икс е р_{+} \\ 0, Икс е р_{-} \end{cases} р_{к}^{-} (η, ξ, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) "=" {\begin{cases} 0, Икс е р_{+} \\ ф_{к}^{-} (ξ) е^{+ я Ом η + я к_{2} {Икс}^{2} + я к_{3} {Икс}^{3}}, Икс е р_{-} \end{cases}

$r^{+}_{\mathbf{k}}(\eta, \xi, x^2, x^3) =\begin{cases} \ f^{+}_{\mathbf{k}}(\xi)\ e^{ - i \Omega \eta + i k_2 x^2 + i k_3 x^3 } \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{+} \\ \ 0 \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{-} \end{cases} \\ r^{-}_{\mathbf{k}}(\eta, \xi, x^2, x^3) =\begin{cases} \ 0 \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{+} \\ \ f^{-}_{\mathbf{k}}(\xi) \ e^{ + i \Omega \eta + i k_2 x^2 + i k_3 x^3 } \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{-} \end{cases}$ Где

f_{k}^{\pm} (ξ)

$f^{\pm}_{\mathbf{k}}(\xi)$ ужасные функции, у меня не хватает смелости напечатать здесь. Для мод отрицательной частоты вы просто берете комплексные сопряжения вышеперечисленных. Сочетание всех этих режимов

{r_{k}^{+}, r_{k}^{-}, r_{k}^{+ *}, r_{k}^{- *}}

$\{ r^{+}_{\mathbf{k}}, r^{-}_{\mathbf{k}} , r^{+\ast}_{\mathbf{k}}, r^{-\ast}_{\mathbf{k}} \}$ завершены

R_{+} \cup R_{-}

$\mathcal{R}_{+} \cup \mathcal{R}_{-}$ . Итак, Такаги расширяет поле

ϕ

$\phi$ с точки зрения этой части пространства Минковского:

ф (Икс) "=" \int г^{3} к [р_{к}^{+} (Икс) б_{к}^{(+)} + р_{к}^{+ *} (Икс) б_{к}^{(+) †} + р_{к}^{-} (Икс) б_{к}^{(-)} + р_{к}^{- *} (Икс) б_{к}^{(-) †}]

$\phi(x) = \int d^3\mathbf{k}\ \left[ r_{\mathbf{k}}^{+}(x) b_{\mathbf{k}}^{(+)} + r_{\mathbf{k}}^{+\ast}(x) b_{\mathbf{k}}^{(+)\dagger} + r_{\mathbf{k}}^{-}(x) b_{\mathbf{k}}^{(-)} + r_{\mathbf{k}}^{-\ast}(x) b_{\mathbf{k}}^{(-)\dagger} \right]$

Мой вопрос: почему вы можете расширить поле только на это подмножество $\mathcal{R}_{+}\cup \mathcal{R}_{-}$ пространства Минковского? Я бы подумал, что нужно расширить поле по всем точкам пространства Минковского? Я не уверен, как правильно это сформулировать, но разве не должно быть вклада в эту область? $\phi$ приходящий из $\mathcal{F} \cup \mathcal{P}$ ?

По крайней мере, так обычно делают при квантизации. $\phi$ в терминах прямоугольного времени Минковского, т.е. в терминах плоских волн $\propto e^{\mp i \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2} x^0 \pm i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} }$ . Здесь у вас будет действительное расширение поля $\phi(x)$ для всех точек пространства Минковского, включая $x \in \mathcal{F} \cup \mathcal{P}$

Ответы (1)

Квантование Риндлера-Фуллинга - расширение ϕϕ\phi по моде Риндлера: почему мы игнорируем клинья прошлого и будущего?

Вальтер Моретти · Answer 1

Есть две вещи, которые вы должны соблюдать. Во-первых, объединение двух открытых клиньев представляет собой (несвязанное) глобально гиперболическое пространство -время само по себе, поэтому квантование возможно без проблем. Во-вторых, объединение этих пар клиньев представляет собой статическое пространство -время по отношению к векторному полю наддува Киллинга , времяподобному именно внутри этих областей (светоподобному на их границе, но исчезающему на бифуркационной поверхности и пространственноподобному в оставшейся части прошлого). и будущие клинья). Процедура квантования в правом и левом клиньях опирается на стандартную конструкцию статического вакуума по отношению к этому понятию времени. Этот статический вакуумосновное состояниеэто нулевой собственный вектор положительного гамильтониана, относящийся к времени усиления (с противоположными направлениями в двух клиньях). Эта конструкция невозможна в остальном пространстве-времени. Действительно, вакуум Фуллинга-Унру и его пространство Фока определены только для наблюдаемых внутри указанных клиньев и не могут быть расширены на все пространство-время Минковского (у него слишком плохие сингулярности на горизонте Киллинга). Так что в некотором смысле вы правы в том, что какой-то вклад упускается из остальных регионов, на самом деле, это состояние не может быть распространено на эти регионы, как я сказал. И наоборот, вакуум Минковского всюду определен в пространстве-времени Минковского и инварианте Пуанкаре. Это основное состояние (собственный вектор 0 соответствующего положительного гамильтониана) относительно любого понятия времени Минковского. Как вы, наверное, знаете, Вакуум Минковского, ограниченный алгеброй полевых наблюдаемых, локализованных в левом и правом клиньях, появляется как тепловое состояние по отношению к бустовскому понятию времени (состояние КМС) в силу так называемой теоремы Бизоньяно-Вихмана (Фуллинга-Сьюэлла). применительно к простейшему случаю невзаимодействующих полей... Однако это ограничение не может быть представлено в виде состояния (матрицы плотности) в фоковском пространстве, построенном на вакууме Фуллинга, и необходимо алгебраическое понятие состояния... Строго говоря, следует сказать что вакуума Фуллинга-Унру не существует. Существует только тепловое состояние, видимо, относящееся к тому понятию вакуумного состояния, которое возникает при ограничении вакуума Минковского. Однако это ограничение не может быть представлено в виде состояния (матрицы плотности) в фоковском пространстве, построенном на вакууме Фуллинга, и необходимо алгебраическое понятие состояния... Строго говоря, следует сказать, что вакуума Фуллинга-Унру не существует. Существует только тепловое состояние, видимо, относящееся к тому понятию вакуумного состояния, которое возникает при ограничении вакуума Минковского. Однако это ограничение не может быть представлено в виде состояния (матрицы плотности) в фоковском пространстве, построенном на вакууме Фуллинга, и необходимо алгебраическое понятие состояния... Строго говоря, следует сказать, что вакуума Фуллинга-Унру не существует. Существует только тепловое состояние, видимо, относящееся к тому понятию вакуумного состояния, которое возникает при ограничении вакуума Минковского.

Спасибо за отличный ответ. В литературе я встречал утверждение, что «моды Риндлера могут быть аналитически продолжены до $\mathcal{F}$ и $\mathcal{P}$ " (к сожалению, я не могу вспомнить источник этого) $\to$ из того, что я получаю от вашего поста, это не нужно? Поскольку в этих областях (порожденных $\frac{\partial}{\partial \eta}$ )? теперь я понимаю расширение $\phi(x)$ точнее над координатами, где "время" $\eta$ существует, так что больше похоже $\phi(\eta,\xi,x^2,x^3)$ в $\mathcal{R}_{+} \cup \mathcal{R}_{-}$
Есть ли какая-либо польза в аналитическом продолжении мод Риндлера для $\mathcal{F}$ и $\mathcal{P}$ ?
Я думаю, что это полезно в некоторых вычислениях, я не помню. Может быть, просто для того, чтобы доказать, что вакуум Минковки — это тепловое состояние в левом и правом клиньях. Попробуйте обратиться к небольшой книжке Уолда о черных дырах и qft в искривленном пространстве-времени. Проблема с расширением вакуума Риндлера заключается в том, что его сингулярность на коротких расстояниях слишком плоха на горизонте Киллинга...

Квантование Риндлера-Фуллинга - расширение ϕϕ\phi по моде Риндлера: почему мы игнорируем клинья прошлого и будущего?

QuantumEyedea

Ответы (1)

Вальтер Моретти

QuantumEyedea

QuantumEyedea

Вальтер Моретти

«Центр черной дыры — это время»

Изменение подписи метрики и последствия в каузальной структуре пространства-времени

Существует ли какой-либо глобальный времениподобный вектор Киллинга в геометрии Шварцшильда?

Что физически определяет точечно-множественную топологию пространственно-временного многообразия?

Может ли квантовая теория поля не обрабатывать ускоренные системы отсчета?

Световой конус/нулевые координаты

Диаграмма пространства-времени для Вселенной Робертсона-Уокера

Причинность в общей теории относительности

Объективное направление времени в общей теории относительности

Что такое «прошлая нулевая бесконечность»?