Квантовая частица на кольце с магнитным потоком через него: можем ли мы измерить магнитное поле?

Рассмотрим квантовую частицу на кольце и ненулевое однородное магнитное поле, перпендикулярное диску, который определяет кольцо, и отличное от нуля только внутри периметра кольца. Позволять Б → "=" Б 0 г ^ а поток через кольцо Φ .
Для векторного потенциала можно выбрать (в цилиндрических координатах) А → "=" Φ 2 π 1 р ф ^ .

Если я попытаюсь выполнить калибровочное преобразование А ′ → "=" А → − ∇ → ф измерить магнитное поле, перейдя к новому датчику, где А ′ → "=" 0 → , Я нахожу ф "=" Φ 2 π ф . Итак, поскольку я нашел функцию ф для этого мне кажется, что я успешно измерил магнитное поле, что физически невозможно!

Что здесь происходит?
Я подозреваю, что что-то не так, потому что ф является многозначным при Икс "=" 0 (что соответствует ф "=" 0 , 2 π , . . ) . Если это так, как мне это исправить и получить А ′ → ≠ 0 ? Существует ли систематический способ лечения таких случаев, как этот, т.е. ф что бы справиться с этой проблемой и дать правильное магнитное поле?

Похоже, вы ответили на свой вопрос; это неправильно, потому что ты ф является многозначным.
@knzhou Я отредактировал вопрос, чтобы было понятнее, о чем я спрашиваю.
Я все еще не уверен, что вы спрашиваете. Что вы подразумеваете под «создать правильное магнитное поле»? Вы уже знаете, что это такое; его Б 0 г ^ .
@knzhou с помощью приведенного выше калибровочного преобразования я нашел ф такой, что А ′ → "=" 0 который дает Б → "=" 0 , что явно неверно. Итак, вопрос в том, как увидеть, где именно все идет не так, и как систематически и правильно выполнять калибровочные преобразования, чтобы вышеуказанная проблема не проявлялась?

Ответы (1)

Описание проблемы как «потому что ф является многозначным» — это один из способов описания проблемы, но на самом деле это не корень проблемы. Корень проблемы — это сингулярность в р "=" 0 . Чтобы квалифицироваться как калибровочное преобразование, функция должна подчиняться

∇ × ∇ ф ( Икс , т ) "=" 0
повсюду.

Похоже, что эта функция работает, если вы просто берете производные, но это вводит в заблуждение. − 1 4 π ∇ 2 р − 1 похоже, что она обращается в нуль по тому же критерию, когда на самом деле это дельта-функция Дирака. Здесь происходит то же самое. Подобно тому, как можно показать существование дельта-функции в случае расходимости градиента с помощью теоремы о расходимости, применение теоремы Стокса покажет вам, что

∮ γ ∇ ф ⋅ д ⁡ с → ≠ 0
всякий раз, когда начало координат заключено в цикл, γ , что доказывает, что калибровочное преобразование неверно.

Как систематически включать эти «скрытые» дельта-функции? Как я могу получить правильные калибровочные преобразования с самого начала?
@TheQuantumMan Вы имеете в виду «исключить»? Или вы все равно хотите сделать калибровочное преобразование с помощью этих функций? Если первое, проще всего придерживаться непрерывных функций. Возможно, можно разрешить разрывы в зависимости от топологии разрыва, но я не знаю точно. Если второе, то потребуется изменить то, что мы понимаем под калибровочным преобразованием, чтобы сохранить Е → и Б → инвариантна относительно более широкого класса функций.
Я имею в виду последнее. Как мы могли бы систематически выполнять эти калибровочные преобразования с использованием указанного вами более широкого класса функций?
@TheQuantumMan Я не знаю, и я не знаю, удосужился ли кто-нибудь решить это. Я подозреваю, что вы можете допускать разрывы, если они не имеют для них края. Можно было бы допустить ребра разрывов, если вы измените уравнения калибровочного преобразования таким образом, чтобы они сохраняли Е → и Б → исправлено, даже для этого более широкого класса функций, но я не изучал его.
Квантовая частица на кольце с магнитным потоком через него: можем ли мы измерить магнитное поле?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v